素イデアル分解の一意性の証明が完了した（今日で14回中7回終了）

やっぱり「おはよう朝日です」が始まるまで起きていた。で起きたら1時半を回っていた。取り急ぎ出発。幸い生協で弁当を買って食べるくらいの時間はあったので、満タンにして講義へ。

今日は素イデアル分解の一意性の証明の途中から。整閉という言葉を先週定義したので、代数体の整数環が整閉なことから。それから素イデアル P に対し P^－1 を定義（分数イデアルであることは示してないし、素イデアル以外のイデアル I の I^－1 はまだ定義してない）して、でもうちょっとウダウダとやって証明完了。それから P.I.D. ⇔ U.F.D. を示して、で U.F.D. でない環を無限個与えてあげた。素因数分解の一意性が成り立つのは当たり前どころか、成り立たない例は簡単に作れるんだよ、と言っておいて、分数イデアルがどうとか言ってたら時間が来た。イデアル類群はもうちょっと先だが、分数イデアルを定義しておかないと後々色々きついので、早目に出しておいた。早目、と入ったが今日は7回目で、もう半分終ってしまった。何でも基礎付けをきちんとやるのは難しい。もうちょっと経つとイデアルが数に見えてくるだろう。

講義終了後は教授会。今日は投票しないといけない件があって、出席者数が定足数に達するまでしばし待たされた。で幾人か分説明があったが、数理は必ずトップバッター。N 先生の緊張感が伝わってくる。で電子投票をして、でそれが済んだらもう一件投票する案件があって、で無事終了。6時を大分過ぎてた。議題が重かったので仕方ない。N 先生も F 先生もご苦労様でした。

それから講義資料を直して web に上げる作業。冪指数が m だったり個数が m だったりと、思い付きでやってるのがよく分かる。個数が m だったり n だったり、n が拡大次数だったりと、いい加減過ぎるので、少し時間を掛けて統一した。大学院生は大分数学に馴染んでいる筈なので、この程度のことで混乱したりはしないだろうが、低回生を相手にする時は気を付けないと。昔は写像が f だったり多項式が f だったりと気にせずやっていたが、今は多項式は大文字にしている。が、F(t) は多項式 F(X) に t を代入したものか体 F に t を添加したものかはっきりしないので、F は体には使わないことにしている。が、一箇所困ったのが、環 R 上の多項式をユークリッド式割り算をした時の余りの多項式を R(X) に出来なくて困った。その時は仕方ないから r(X) にさせてもらったが。木田さんの線形代数の本は (e₁,e₂) は2次元ベクトル空間の基底なのだが、内積の章に突っ込んだ時に焦ったろう。勿論但し書きは書いてあったが、いささか苦しい。内積は {e₁,e₂} で書く本が多いがこれ困るのは、集合としてみると {e₁,e₂} と {e₂,e₁} が 等しいこと。が、もっと苦しいのは集合 {e₁,e₁,e₂} と {e₁,e₂} は等しい。うむ。斎藤正彦大先生の本は基底は <e₁,e₂> で表してるが、この記号を内積に使うこともある。困るね。まあしかし (a₁,a₂) とか書くと平面の点、二つの集合の直積の元、開区間、最大公約数、a₁,a₂ が生成するイデアルと、状況に応じて使い分けるのが大変。小生は (x,y) で x,y の最大公約数を表したすぐ後に「故に (x,y)＝(3,±5) のみが解」とかやるが。前に sgn(a) って a∈R の符号を書いてるのに sgn と書いてあるから置換の符号だと思った学生はいたし、\varphi を Euler の totient 関数と思って混乱していた学生もいたから、記号は気を付けないとね。でそんなことのために結構時間を使ってしまった。位相の本を持ち歩ているが、殆ど開いてないぞ。今日は開基のことをちょっと勉強しただけに成ってしまった。開基がちゃんと分からないと直積位相が理解出来ないし、そこを越えないとイデールの位相がよく分からなくなる。ということでちゃんとします。

和食さとの8%割引券があるので、瀬田の和食さとに寄ることにしたが、ガソリンが切れかかてるのに気付いた。腹を満たす前に車に食料を与えよう、ということで途中にあった Eneos で給油。腹いっぱいにさせてやりたいが、諸事情あるので 10L だけ入れてきた。でさとでトンカツに海老フライが1尾乗った奴に松茸ご飯で、と注文したが、数分後に店の人が来て、何だと思ったら松茸ご飯が尽きてしまったらしい。仕方ないので白飯にしたが、両少な目にすればよかった。松茸ご飯だから両普通だったのに。まあいいです。

今晩は寒くなるらしい。大阪の最低気温が8度と言ってたが、今日とは既に8度は経験済み。いや、大阪で8度だから、京都はもっと寒いのか？山科は京都市だが、世間の人のイメージする京都市より少々気温が低い。大丈夫だろうか？シャワーは風呂暖房を入れないと無理だな。前の部屋の時は冬のシャワーは寒過ぎて、シャワーを出しっ放しにして暖かくしながら体を洗っていたがな。今の部屋は床暖房もあるし、冬対策は万全。そろそろ床暖房も出番か、とも思うが、今週末はまた20度を結構超える気温に成ると言ってたし、よく分からん。風邪を引かないよう気を付けないとね。

多項式環での平方剰余の章に突っ込んだのは久し振り

やはり起きるのが遅くていいと中々寝ないな。結局今日も「おはよう朝日です」を途中まで見てしまった。で起きたら2時くらいで、急いで行かないと間に合わない。飛んで出た。勿論スピード違反はしないよ。でウェストウィングの1階で菓子パン一個とペットボトルのコーヒー一本買って流し込んでからゼミ。

今日で虚二次体の類数が1でない場合が終わって、多項式環での平方剰余の話。ここまで来たのは何年振りか？大分忘れてたので割とちゃんと聞いていた。幸い今日はそれなりに寝ているので、脳味噌はちゃんと動いた。まあ今日は定義して計算しただけだから、大したことは無い。来週相互法則の証明をするが、古典的な場合の証明の類似を多項式でやる。テキストに載っている Z の場合の証明を始めて見た時、何でこんな難しい証明を採用するんだろうか、と思ったら、多項式環の場合にその類似の証明が行いやすいからということのようだ、と納得がいった。どの方向にしろ発展させやすい証明は大事。ということで来週もちゃんとしないと。

で5時過ぎに解放されて、それから位相とか代数体のイデアルのことをちょっと考えて、9時くらいまで職場にいた。「おはよう朝日です」に依れば昼間に俄雨は降るかもしれないが、本格的に降り出すのは夜遅く成ってから、とのことだった。でその通りで、職場に着いた時はちょっと雨が降ってた。車に置き傘として置いてある傘を使ったが、うっかり個研室に置き忘れてしまった。まあ住処にも傘はあるのでいいけど。で走ってる最中にぽつぽつと降り出した。まだフロントガラスに水滴が少々つく程度なので大したことはない。ガストで唐揚げを食べて住処に10時半くらいに着いて、でその時の雨も大したことなかった。そろそろ降り出すかな？ちょっと買い出しに行きたいが降ってたら嫌だな。あ、明日は資源ごみの日じゃないか。雨降ってるとそっちも嫌だな。早い内にやるか。火曜日に講義があると落ち着いてゴミの分別が出来ない。まあ明日の講義も2時55分からなので、結構な時間までやってても大丈夫だけど。ということでやりますかね。

健康診断のお知らせが随分前に来たっきり来ないが、いつなんだ？とこの前調べたら12月に成ってから。そろそろもう一度案内が来てもおかしくない、と思ったが来ない。でメールを探してみたら、随分前のメールが最終案内で、それに書かれている URL から日時指定をしなくてはいけなかったようだ。で見たら、小生の空いてる時間に合うのは1箇所しかなかった。残り3枠と、かなり危険だった。危ない。まあどうにかなってよかった。前は紙が送られてきてそれを送り返していたが、ペーパーレスに成った今の時代は過保護ではなくなったな。気を付けないと。色々やることがあって、肉体的にはそんなに多忙でないが、精神的に結構多忙である。気を付けないと。「忙しいとは心を亡くすと書く」と前に聞いたことがあるが、その通りだな。まあ小生程度で忙しいと言ってはいけない。昨日うちは総長選挙があったようだが、結果がメールで来ていた。一昨年まで理工学部長をなさっていた方が選ばれた。学生の頃からうちにいらした方だし、学部長もなさったくらいだから、まあ選ばれて然るべきだ。しかしそんなことをするために大学教授に成りたかったのだろうか？小生とは比較に成らない忙しさだろう。お体を大事になさってください。健康診断を受けてくださいね。

消防訓練をサボって、相撲も見てない。呑み過ぎ注意。

昨日の晩は割合記憶がある。ワインを呑み呑み何かの話題（これは覚えてない）の途中で地震があったりとか。山科区は震度2だったが、関東では4強だと言ってたが、大丈夫だったかな？でいつもの通り結構払ってお開き。途中セブンイレブンに寄っていつもの通り水を買ったが、Number の表紙が祐大が雄叫びを上げてる写真。「Baseball 2026 Final」の文字が見えて、Baystars がコテンパンに負けた話題が中心かと思ったが、祐大の写真に惹かれて買ってしまった。まだ開いてもないけど。「[全4戦解説] 権藤博の “Kill or be Killed”」という記事も面白そうだ。今度じっくり読む。

で10時前に一旦意識が戻ったが、今日は消防訓練だったな。11時開始だったと思うが、出られるかも、という気がした。理事会の時に「出られるかどうか微妙です」と言っておいたが、その後「〇〇さんも加川さんも、出られるようでしたら是非ご出席を」と言われたが、何故この人は小生が加川だと知ってる？と疑問に成った。いや、最初の時に自己紹介くらいはしたが。管理人さんにも名乗った記憶が無い時に「加川さん」と呼ばれたが、何故知ってる？と疑問に思ったが、今考えれば駐車場の契約の為に運転免許証のコピーを出したかもしれない。だからかな。でもう暫くして気付いたが、消防訓練だと結構長い時間立っていないといけないが、脚が痛いし立ってられないかも、と。ということで申し訳ないが欠席ということにした。安青錦は朝乃山に負けたが、安青錦の初日黒星は珍しいのでは？

その後結構寝て、あ、相撲だ、と気付いたが、まあ最初から見なくてもいいか、と4時を過ぎても寝続け、幕の内の後半くらいは見ようか、と5時くらいに起きようとするが起きられず、三役が出てくるくらいには、とか、横綱の取り組みだけでも、とかやりながら、結局見なかった。まあ結果は「サンデースポーツ」で教えてくれるだろうし、取り組みは深夜のダイジェストで見ればいいかと。で大河ドラマが始まってちょっとして起きた。まあ昨日は寝不足だったから、寝ておいてよかった。で大河ドラマを追っ掛け再生で見たが、秀長と秀吉の仲が悪くなってくるという予想に反して、兄弟は相変わらず協力している。数回前から暗示されているように秀長と秀次の関係が不穏な感じに成ってきた。秀次が秀長を毒殺する？ということを言う人もいるが、どうなるでしょうか？あと数回だからね。小田原攻めには秀長は参加出来ない筈だが、さて。

で「サンデースポーツ」で相撲の結果を見たが、久々に出場の豊昇龍は内容は良くないながらも勝って、土俵際まで一方的に寄っていった大の里が負けるのが勝負の綾か。玉ノ井親方曰く、大の里には特に心配は無いとのこと。まあそういうことだな。帰り入幕の玉鷲は新入幕の出羽ノ龍に負けた。新三役（沖縄出身の初三役）の美ノ海は豊昇龍に負けた。安青錦は朝乃山に負けたが、安青錦の初日黒星は珍しい気がする。まあ1日終わっただけだから、まだどうなるかは分からない。色々考慮すると、今場所もあまり見られそうにない。深夜のダイジェストは貴重だ。ありがたや。

朝晩だけでなく日中も結構寒くなってきた。朝早くの出勤は無いが、そろそろ冬の装いで出勤してもいいかもな。帰りは遅くなるし。手袋はまだ大丈夫かな。最近はコンビニで割といいのが売ってるし、買っておこうか。確か去年は一昨年買ったのを使った気がする。衛生面を考えると新しいのを買った方がいいか。明日の帰り道にでも買おう。

暖かいのか寒いのかはっきりしてくれ（今日は立冬）

何か毎金曜日徹夜に近いことをしてる。今日は木曜日にやった「ゴチバトル」を見て、でちょっとだけ位相。まだ全然進んでない。開基のことがちょっとだけ分かった程度。大学に入る前なら ∀ε>0 に対し ε>1/n なる n∈N の存在なんて何も考えなかったが、アルキメデスの公理いるよね？と思うのは進化したということなのか毒されたということなのか？知らんが。

11時前に近所で用事があるので向かう。先週の土曜日は腰だの脚だの言ってて10分ちょっと歩くのに凄く難渋したが、今日は少しはマシに成った。しかしまだちょっと左脚が痛む。まあ途中休まないでも外環三条くらいまでは行けるようになった。で待ってる間文庫本を読んだが、北野大茶の湯の話の辺りまで進んで、先週の大河ドラマに追い付いた。大河ドラマでは秀吉が少しずつおかしく成り始めてきたが、「影の系譜」では最初からおかしな人として書かれていて、大分感じが違う。ルイス・フロイスという当時の宣教師が書いたものによると、秀吉は常軌を逸した女狂いだったそうだが、大河ドラマでは側室一人持つのにあれこれ言って正室北政所を思いやっていた。人に依って書きようが全然違って面白い。やっと100ページの垣根を越えたが、見たら500ページ以上ある小説。うーん、当分掛かるな。

帰ってきてすぐにでも寝ようかと思ったが、つい「ポツンと一軒家」の再放送が面白いので見てしまった。でその後寝床に向かったがすぐダウンした。数時間寝たが、眠りは浅い。変な夢を色々見た。大学を移る話だったり沢山知り合いが移ってくる話だったり引っ越す話だったりと、全く現実と違う内容ばかりだった。夢には希望、期待というかそういうものが出るのだろうか？しかし悪夢とか逆夢というのもあるしな。色々分かると面白いんだろう。何もかも分かったら科学者は面白くないから、分からないことが残った方がいい。頑張って色々解明して、ノーベル賞でも獲って下され。

数日前は「大阪で一番遅い夏日は11月19日」みたいなことを言っていたが、今日は立冬で、今晩から一気に冷え込むようなことを言ってた。寝不足関係無くこれから恒例の週末呑みだが、どんな格好をして出掛けようか？悩み所。薄いジャンパー（青色）を羽織って行ってみよう。片道5分くらいだからまあ大丈夫だ。寒かったら明後日以降善処することにして、取り敢えずはいいでしょう。ということでボチボチ出発。

ヒルベルト理論の勉強に手間取り、位相の勉強が出来なかった

珍しく少し早目に（と言っても日は改まっていたが）寝て、で10時半過ぎには起きたかったが、やはり無理だった。それでも11時30分前には起きて、でシャワーを浴びて、11時45分くらいには出発した。で割と駐車場の入口に近い所に停められてよかった。まだ腿がちょっと痛いんで、あまり長距離歩きたくないのでよかった。で弁当を買っていつものように Coke ON アプリ対応の自販機で綾鷹を買って、個研室で食してしばしボーっとする。

1時10分から「代数学II」。今日は正規拡大について諸々。正規拡大の定義は任意の元の共役が全てその体に属する、にしたが、これが多項式が根を一個持てば他の根もそこに入ってるとか、など細々やって、で単純拡大だと生成元だけ見れば正規性の判定が出来る、ということを証明した。定義通りでも多項式の根で言い換えたものでも無限体だと無限個の元を相手にしないといけないが、単純拡大だったら有限個の元だけ相手にすればいいので、楽、という話だが、意図が伝わってるかどうかは謎。それから最小分解体を定義して、有限次正規拡大であることとある多項式の最小分解体であることが同値、という事実を示した。この辺少しインチキで、代数的閉包を一つ固定している。気に成る人は気にすればいいし、そうでない人はまあお気楽に行けばいいでしょう。小生は代数体と有限体以外はいじってないので、気は楽。でそれから標数の話をちょっとして、で来週は標数が0じゃなかったら素数であることから始める予定。やはり腿の痛みは時々出て、何度か休憩させてもらった。黒板を一通り消し終わった後もしばし座ってボーっとしてた。幸い次のコマは講義が無い教室なのでよかった。

で個研室でしばしボーっとしてからゼミ。今日は2次体のイデアル類群の 2-rank の話。それから判別式を素判別式に分解して、で不分岐拡大を沢山作る話。不分岐拡大作っても面白くないよね、という気がしたので、ちょっと類体論のことを教えてあげた。ちょっと言葉足らずだったが、イデアル類群という謎なものがガロア群として捉えられる、言い換えれば体の拡大で捉えらえるので、嬉しいよね、ということなのだが。まあ難しいね。

6時ちょいにゼミは終了した。話を聞いてる途中にヒルベルト理論の理解が足りないことが分かったので、藤崎先生の本を引っくり返して勉強。ヒルベルト理論は藤崎先生の本が一番詳しくかつ読みやすく書いてある。ちゃんと分かった。今日は位相のことを勉強しようと思って本を持って行ってたが、結局開かないうちに9時近くに成ってしまった。昼にはま寿司に行けなかったので、向かう。今大トロフェアをやってると CM でやっていたので。小さかったがまあ100円なので。一貫しか乗ってないので、二度頼んだ。で2000円ちょっと。金曜の晩だけあってテーブル席を使いたい人は小生が食べ終わった時点で待ってる人がいたが、カウンター席はすぐ食べられてよかった。帰り道の国道一号線は大津市内で二か所片側交互通行をやっていたが、幸いどちらも待たずに通せてもらえた。

明日は午前中にちょっと用事があるので程々に寝る。幸いと言うか野球がシーズンオフだし、相撲は明後日からだから、明日は結構時間に余裕がある。位相の勉強をしようか？いや、「ゴチバトル」を見ないと。それと昨日書いた通り、「栄光のバックホーム」を録画する Blu-ray ディスクを探さないと。

時々ある眠くて仕方ない一日

昨晩はその後1通はメールを書いたが、もう1通面倒だな、と思ってる内にまた下らんことをやり始めて、まだ書いてない。で下らんことをまたしても変な時間までやっていて、寝たのは相当遅い。まあゼミは遅くから開始だし、いいかと。

で起きたのは案の定相当遅い。眠いな、とまたちょっと寝てしまい、いよいよ行かないと間に合わない時間が近付いてきた。が、起き上がる前にスマホでメールをチェックしたら、今日発表予定の学生が数日調子が悪くてゼミが出来ないという趣旨のメールが来ていた。何だ。まあ眠いのでいいです。起きてパソコンで返事だけ書いて、もう一度ダウン。

暫くして起きて、でカップ麺で腹を満たしてから何かしよう、と思ったが、うっかり「座王」を二回分見てしまった。一回は先週の分、もう一回は少し前に見て消し忘れたやつ。どっちも面白かった。さて有意義に、と行きたいがまだ眠い。結局今さっきまで寝ていた。時々ある幾ら寝ても眠い一日だな。不摂生が祟っている。明日は1時10分から講義と、一週間で一番早く出勤しないといけない日。講義の後すぐゼミだから、昼飯を食べて講義に臨戦出来るような時間には職場に着かないといけない。「アメトーーク！」が終わったら寝るか。通常木曜深夜は「アメトーーク！」の後前の週の「座王」を見るんだが、もう見てしまったし。たまにはちゃんと寝よう。

土曜の夜「栄光のバックホーム」を地上波で放送するそうだ。録画しておかないと。随分前に間宮祥太朗主演で映像化されたものがあったが、それを見たいとふなごやで言われたが、録画してあるので Blu-ray を再生出来るようにすれば貸してあげると言ったが、まだ対応してないようだ。えーと、でそれのディスクに「栄光のバックホーム」主演の松宮鷹也氏が「徹子の部屋」に出たことがあったが、たまたま番組表を見てそれに気付いて録画してある。同じディスクに録画してあるので、「栄光のバックホーム」もそれに録ろう、ということでこれからか明日かに探す。しかし便利な世の中に成った。松谷鷹也氏が「徹子の部屋」に出ていた時に父親がプロ野球選手だったと言っていたが、知らなかった。松谷、と言われても記憶に無い。調べたが名は竜二郎、投手で、読売 Giants で5年、近鉄 Buffaloes で2年、59登板（先発6登板）で4勝4敗1セーブ（2完投）と、決して一流とは言えない投手だったようだ。鷹也氏も高校、大学で投手をやっていたが、大学で故障して野球をやめたそうだ。こういうのがすぐ調べられてよい。何にしても楽しみだ。もう一度泣かせてもらおう。

卒研募集関連のことは山を越えたか？

卒研希望調査票の取り纏めはいつ頃仕上がるんだろう？と気に成って寝付けない。いや、酒は呑んでるんだが。勿論事務の人が出勤しないと終わるわけが無いので、寝るが。で何度も目が覚めて、10時、11時、12時、…、3時33分33秒を見ようか？と思ったが、寝入ってた。で4時半過ぎにまた目が覚めて、スマホを見ると整理が済んだ旨のメールが来ていた。お！ということで起きた。何度かメールのやり取りの必要があったので、事務の方が帰宅後に起きて、返事は明日まで待つ、ということに成らなくてよかった。で頭の中も整理出来たので、学科の皆さんにメール。が、返事はすぐ来るわけ無いのだ。昨日書いた通り談話会があって、その懇親会が済むまでは何も言ってこないだろうと。でその後もしばしウダウダやって、で何名の方から意見をいただいた。また整理しないと。それと制度をちゃんと理解してない学生が数名いるので、各個撃破しておかないと。ということで皆さんがセレクションを済ませるまで暫くやることは無いかな。

昨晩は呑みながらイデールの勉強をしていたが、位相のことを一番分かりたいのにそれ以前の問題が多くて困った。本当に小生は類体論の勉強をして使ってるんでしょうか？という感じだが、実はイデールを用いた類体論はほぼ使ったことが無くて、使ったのはイデアルを用いた形式化なので、イデールは大の苦手。ちゃんとしようと思うが、中々思うに任せない。イデールのためには位相群がいるが、位相群もよく分かってないぞ。位相群の定義には直積位相がいるが、直積位相もよく分かってない。有限個の直積の場合、いやさ2個の直積の場合も怪しい。これを機にちゃんとやっておこう。が、明日のゼミまでにちゃんとしていくのは無理そうだ。まあゆっくりやります。学生が自分で勉強するのにヒントになることを言える程度にはしておかないと。色々忙しい。野球が早目に終わってくれてよかったと言えばよかったが。が、日曜日から相撲が始まる。また2週間ばかり忙しいぞ。

11月3日は休日出勤で嫌だな、ということに囚われていて忘れていたが、2年前の11月3日は凄いことがあったのをもう忘れていた。何かというと Baystars が日本シリーズを制覇した日だった。10月26日はお袋の誕生日もあったので印象深いが、11月3日を忘れてはいけないな。まあ1998年はリーグ優勝からの日本一だったが、一昨年のはちょっとというかかなりインチキくさかったからちょっと忘れる。いやいや、優勝パレード見に行ったのに忘れちゃだめよ。反省。

これから数通メール書き。明日のゼミは相当遅く始まるから、まだまだ起きてるからやるけどね。まず同僚にメールを書いて、それから各個撃破だ。やるぞ。