またしても結構遅くまで起きていた。クロネッカー積を勉強したかと言うとさにあらず。またしてもどうでもいいことをしてしまった。で今朝は起きたら11時半を回っていた。急いで出掛ける。弁当を買って食べるくらいの時間はあった。
ゼミは1時10分から。円分体の整数基の決定と判別式の計算などから。学生もクロネッカー積のことはちゃんとは分からなかったようだが、まあ例を計算して納得したからいいかと。小生は諦めずにまだやる予定だが。その後選手交代してクロネッカー・ウェーバーの定理。一番最初の補題に間違いがあった気がしたが、ガロア拡大では駄目な筈で、アーベル拡大でないと、と思ったが、アーベルでない場合の反例がすぐ作れないので、アーベルだとしておいて先に進む。でこの補題を使う時はアーベル拡大の場合に使っているので、議論に瑕疵はない。ヒルベルト理論やら有限群の知識（シローの定理とかアーベル群の基本定理とか）を使うので難しいが、大体理解出来た。学生がちゃんと準備しているのと、本の理論展開が巧みであることもある。勉強に成った。が、1時間近く延長した。証明を始めたのが本来のゼミ終了時間の15分くらい前だったので、出来るわけないと思ったのだが。まあもう一人の学生もいいと言ったからいいでしょう。前に石田信先生の本をゼミで読んでる時にもよく分かった気でいたが、大分感じが違った。その時の学生も優秀な学生だったから、証明の構成を自分で組み直して話してくれたお陰でよく分かった。充実した時間でした。
その後個研室で上に書いた反例探し。素数が一個しか分岐しない非アーベルなガロア拡大を探さないといけない。まあ S3 拡大でしょう、S3 拡大と言えば純三次体のガロア閉包でしょう、ということになるが、純三次体では3が必ず分岐するので、Q(31/3,√－3) を考えるしかない。すると主張が成り立ってしまう。む。さあどうしたもんかと証明を読み直したり、いや、ヒルベルト理論が分かってないんだと本の前の方を見たり。何かよく分からない。で閃いた。LMFDB を見れば素数が一つしか分岐しない S3 拡大なぞ幾らでも見付かる。で判別式が －23 の三次体を見た瞬間に力が抜けたというか敗北感と言うか。まあいいです。で SageMath でガロア閉包の判別式を求めたら、ちゃんと23の冪に成っていた。(23) の素イデアル分解もお茶の子さいさい。勿論手計算でもある程度確かめた。x3－3x－1 の判別式は －23 と square-free なので、23の分岐はクンマーの定理から容易に従い、分岐指数と相対次数に e＝e'e"、f＝f'f" という関係がある（何を言ってるか分かるよね？）ので、ガロア閉包での23の分解の形も容易。で中間体が惰性群に含まれてるかどうかは分岐指数を見れば分かるので、すぐ結論が出た。ほら、惰性体は Q の不分岐拡大じゃなかった。頭の中がアーベルに成ってるとしそうな間違い。さしもの藤崎先生といえどそうだったのだろう。お陰で勉強に成りました。その後ちょっと明日の講義の資料を眺めたら、クロネッカー・ウェーバーの定理を紹介することに成っていた。丁度良かった。来週から5次多項式の非可解性に入れそうだ。
ということで9時過ぎまで職場にいた。すき家でカレーを食べて帰宅。昨日はココ壱番屋でカレーだったな。まあいいです。寒い時は温かくてスパイシーなものを食べないと。外気温は5度の表示。まだ凍結注意の警告は出ない。瀬田川大橋と逢坂山峠の入り口では3度と成っていた。こちらも凍結注意がもうすぐ出そうだ。気を付けないと。
そうそう、一つ思い出したことがある。頭の中がアーベルに成っている件とちょっと違う件だが、有限体の拡大って一直線に並んでる（何言いたいか分かるよね？）と思いがちだがそうではないという話。昔後輩がコンピューターに計算させていたが、F2 上定義された曲線の F4 有理点の個数より F8 有理点の個数の方が少なくて、うぉー、と成っていた。その件を別の人から聞いたが「何も変じゃないんだよ」と言われても暫く分からなかった。でとんでもない勘違いしていたのだ。F8 は F4 の拡大体じゃないです。[F8：F2]＝3、[F4：F2]＝2 なのでね。4｜8 だから勘違いする、ということだった。他にも色々勘違いしていることはあるだろう。気を付けないとな。昔読んでた論文に別の論文の証明が間違っている、と書いてあったが、その論文では「n｜ab ⇒ n｜a または n｜b」を n が素数じゃない場合もやってるらしい。そんな論文が載った journal は恥ずかしい（忘れたが、結構いい journal だった記憶がある）し、referee はもっと恥ずかしい。まあ匿名でやってるので責任は問われることはな無いが、大いに反省していただかないと。実は代数学IIで去年までやっていた証明に一箇所嘘があったことを気付いたので、急いで fix しないとと思ってるが、まだやってない。来週か再来週にはしないといけない話。やらないと。人様のエラーについて偉そうに言える現状ではない。ちゃんとしないと。用事が溜まってるので、一個ずつ片付けないと。取り敢えずすぐ済みそうな事務作業からやろう。寝不足はいけないので、程々にして寝るけど。
