GLn(K)（K は有限体）の元の個数の勘定はもう大丈夫

昨晩はその後何だかんだと3時前まで起きていた。流石に徹夜は響くか、12時間以上寝た。途中呼び鈴が鳴ったが、エントランスからの呼び鈴ではなく、部屋の入口の呼び鈴の音。怪しい、ということで無視を決め込んでそのまま寝続けた。後で思えば、年に一度の消防施設の点検だな。義務なのだろうから仕方ない。明日以降は来た時間によるが、部屋に入れてあげないと。

その後起きて、カップ麺をすすりながら先週やった「ミラクル9」の2時間スペシャルと、先週の「座王」を見たり。昨晩の「座王」はまた後で見る。それからちょっと線形代数と言うか群論と言うか体論と言うかをちょっと。GL_n(R)（R は零環でない環）がアーベル群じゃないことを講義でやってるが、AB≠BA である行列の例がよくない。成分に2とか3とか4とか入れないで、0, 1だけを成分に持つ A, B で AB≠BA なものはないか？と探したらすぐ見付かった。来年度の講義からそっちを例にしよう、などとして TeX 化。GL_n(K)（K は有限体）の元の個数の勘定って、一回やって分かった気に成ってまた忘れて、を繰り返していたが、線形代数を講義のためにちゃんとやったお陰か、もう絶対忘れないという自信が出来た。こっちはまだ TeX 化してないが、後でやる。念のため星明考「群論序説」で答が合っているか確認。もう大丈夫。短時間だが有意義な勉強時間だった。

やっと疲れが取れたのに、これから疲れに行く。要するに呑むということだが。明日は M-1 なので、集中して見られるくらいにはしておく予定。いや、ノリ次第だからな。寝癖ボーボーなので、シャワーを浴びてから行ってきます。

年内の「代数学II」は終了。準備に手間取り超寝不足。

交代群の気に成ってることを修正するのに存外時間が掛かった。何かあれこれと場合分けが多かったが、気付けば大したことなかったが。でほぼ寝ないで出勤。

はま寿司で2100円強食べてしまった。まあ単価が高くなったのが大きな原因だとは思うが。で12時ちょいに職場に着いて、で気付いてしまった。まだ年内の月曜日が一回残ってる。急いでテキストに目を通し始めたが、時計を見たら1時を過ぎてた。いかん、講義だ。

で講義室で少ない学生相手に「代数学II」。交代群のことは話し始めたら10分も掛からなかった。時間を掛けて準備したのだが。ここで時間を使うのは勿体ない。来年度はもう少し工夫しよう。でそれから多項式が代数的に解ければガロア群が可解群であることの証明を始めたが、想像より大変だった。1時間以上話したろうか。学生は嫌がっているだろう。写真を撮ってる音が聞こえた。撮影だけして見直さないなら撮っても同じだよ、と言おうと思ってやめておいた。で終わった後、「この程度の証明を長いだとへちまだの言うのは修業が足りない。卒研ではもっと大変なことをさせられると思っておかないと」とつい言ってしまった。こういうことをやるから嫌われるんだよな。でコーシーの定理の証明をするには時間が足りない。仕方ないので群作用とか軌道とか stabilizer とか復習してお茶を濁して、最後に「p が #G の素因数で #G＝p^a×n, (n,p)＝1 の時、1≦b≦a なるどんな b に対しても、位数 p^b の部分群が存在する」というシローの定理（の拡張版？オリジナルな形？）を書いて年内は終了。次回はそれを済ませて、x⁵－10x＋2 のガロア群が S₅ と同型であることを示して、など。有限体の話は出来ないだろうか？作図問題も無理そうだな。もうちょっと次年度に向けて工夫しないと。何年経ってもうまくいかないな。まあそうやって少しずつ大人に成っていくので。いやいや、もう老人でしょ、というツッコミは却下。最後の年に完成形が出来てれば満足するでしょう。

で例によってすぐゼミ。この前 Minkowski の一連の定理群（原点対称で凸で体積がある程度大きかったら原点以外の格子点を含むというやつ）を示したので、今日はそれを応用して判別式の下からの評価や、与えられた判別式を持つ代数体が有限個しかないとか、イデアル類群を実際に求めるための Minkowski bound による評価とか。で一通り証明し終わったところで力尽きたようだ。次の節にイデアル類群を実際に求める例が沢山出ているが。Minkowski bound が2より小さいと嬉しいとか、有理数以外の代数体の判別式の絶対値が1より大きいと何が嬉しいとか、判別式の下からの評価があると何が嬉しいかとか、そういうのを教えておいた。彼の担当は今日で終わり。4月から新天地で勉強に励んでください。年明けに一回だけあるという何ともモチベーションの上がらない年末に成るが、もう一人の彼も頑張った。彼も新天地でちゃんとやれるでしょう。

ということで高速道路の混雑が収まるまで時間を潰さないと、ということもあるし、まだ線形代数の作戦練りが足りないので、それも。出席者が大分減ってるが、まあいいです。こっちが勉強するのが大事なので。でグラム・シュミットの直交化の前まで読んだ。まあそこいらで時間が尽きるでしょう。年明けは1月6日（火）からなので、線形代数の講義は大分空く。しかも1月12日（月）の成人式の日はうちも休みに成る。昨年度までは成人式の次の週の月曜日で秋学期終了、と成ったんだが、今年から1週間減ったので、どうする？と思ったら、1月13日（火）に月曜日の分を全部やるという変則スケジュール。非常勤講師の方など、本務校や他の大学の講義がある人のことを何も考えていないスケジューリングだな。まあ今年は試用期間ということで来年度からまた変わるかもしれない。ま、偉い人に任せまひょ。

帰ってきてカップラーメンをすすりながら「緊急取調室」の先週の分を見ようということにして見たが、2話続きだったので、2時間強見る羽目に成った。面白かったのでいいけど。映画が楽しみだな。1週間後に封切りだ。こっちで見るか実家の近所で見るか。「栄光のバックホーム」も見ないといけないし。年明けでもいいか。

そうそう、代数的に解ける ⇒ ガロア群が可解群、のもう少し時間の掛からない証明はないかと思って本をめくってたが、今年出たガロア理論の本に致命的なミスがあることを発見した。ロクに触ったこと無い本や文献のたまたま開いた頁にエラーがあるという事態は何度目かいな。まあそれだけ難しい所なわけだし、穴を無くすのは難しいな。小生も大穴を開けていたわけだから。調べたら出版社にご注進出来る web ページがあることが分かったので、早速伝えておいた。その本は何をやっていたかというと「L/M, M/K がガロア拡大 ⇒ L/K はガロア拡大」という成り立たないことを証明してた。これ間違える人は過去に見たことがある。成り立ちませんよ、と言ったら、え？と言われた。藤崎先生の「体とガロア理論」で勉強すると、こういうのの反例を知ることが出来てよかった。その本の「証明」は読んでないが、何か致命的な勘違いをしているのだろう。小生の間違いはそこではなかったが、まあ下らん勘違いでした。実際に埋めて話してみると、相当時間を食ったし、易しいことではないのだ。今年から春休みが1週間長くなったし、M2 もいないから、少しじっくり考えてみるか。幸い来年度は線形代数から解放されたので、そっちに時間を割かなくていいから余裕はある。「審査」の問題は次回は大丈夫だろうから、新しい研究だけでなくそっちもやるか。

流石に眠いな。「探偵！ナイトスクープ」が終わったら寝るか。「座王」を録画して、と思って番組表を見たら、今日は1時間特番らしい。ハードディスクに余裕が無かったから、さっき沢山消した。明らかに見ないだろうという下らん番組群（何故録画したか謎）を消して、大丈夫に成った。「相棒」と「緊急取調室」を Blu-ray に焼いたり、他にもダビングして、年末年始のために余裕を作っておかないと。明日以降やることにして、ボチボチ寝る準備。

フロントガラスのプチ凍結は今シーズン初

今朝は何だかんだと11時半過ぎまで寝てしまった。寝癖を直してもいいくらいの時間はあったので、チャチャっと直して、12時10分近くに出発。いつもの弁当売り場に行ったら、もう誰もいなかった。仕方ないので生協に買いに行く。落ち着いて食べるくらいの時間はあった。

1時10分からゼミ。2人でやってるゼミだが、今日は1人来ないと言っていたので、マンツーマンで。今日は素数次のクンマー拡大での素イデアル分解。「大分訳分かんない所がありました」と言ってたが、言うほど酷くはない。分かってない所を分かってないと認識出来てればいいです。一箇所不等式が分からないと言ってたが、左辺から右辺を引いて0以上、という高校生でもやれそうなことを出来なかったが、まあてんぱっていたのでしょう。1箇所謎が残ったが、まあ大体出来た。一生懸命やると休憩を忘れる学生で、今日も時計を初めて見た時はもう延長戦に突入している時間だった。もうちょっとやると定理の証明が一つ終わるので、そこまでやって、20分くらい延長。まあ大方分かった。クンマー拡大での素イデアル分解の法則は2度使ったことがある。と言っても2次拡大なので、あまりクンマー拡大という気はしないが、下の体が Q じゃなかったので、平方剰余では歯が立たない。証明が勉強出来てよかった。

5時過ぎから明日の「代数学II」の予習を。代数的に解ける ⇒ ガロア群は可解群の証明を先週必死に付けたが、念のためもう一度見てみた。大丈夫そうだ。その後コーシーの定理（p が有限群 G の位数の素因数 ⇒ G は位数 p の元を持つ）の証明を改める作業。去年まではまずアーベル群の場合に主張が成り立つこと（|G| に関する帰納法を使えば容易）を示して、その後中心だとか正規化群だとか類等式だとか持ち出して、アーベル群とは限らない場合もアーベル群の場合に帰着出来る、とやってたんだが、時間を食う。シローの定理の系としてしまう案はあるが、シローの定理の証明にコーシーの定理を使った可能性もあるので、そうはいかない。で星明考「群論序説」を少し前に眺めてたら短時間で済みそうな証明が出ていたので、それにしようかと。群の作用だとか色々やるが、シロー部分群の存在も示せてしまうのでいい、と読み始める。が、難しいぞ。ああでもないこうでもないといじくり回すと段々見えてくる。で腑に落ちたのはもう9時半過ぎ。それから TeX 打ちしたり、また分からなくなって考え直したりと、11時くらいまで掛かってしまった。まあ難航している時は泊まるのを覚悟していたが、そうは成らなくてよかった。まだ何かそこはかとなく気持ち悪い所があるが、まあ大丈夫そう。ということで個研室を後にする。

寒いな、と思って駐車場に着くと、停まっている数少ない車は全て夜露でびっしょり。で乗ってワイパーを掛けると、ジャリジャリ言う。今シーズン初のプチ凍結。フロントガラスとリアガラスの曇りをとるあれ（分かるよね？）を動作させて、暖房を全開にして車内を暖めた結果、10分も経たないうちに運転出来る状態に成った。外気温は2度。前方の様子を撮るカメラが作動してない旨のメッセージが出た。凍り付くとそうなる。が、数分走ったら大丈夫に成った。やはりうちは高台にあるからなのだろう、国道一号まで降りたら4度に成った。でちゃんぽん亭で暖まってから帰宅。途中5度に成った。まあうちは山の上と言ってもたかが知れてる。一度 APU に行ったが、あそこは大変。高妻さんという整数論の方がおられて、彼曰く雪で途中まで行って諦めて引き返したことがあると言ってた。うちはそこまでは成らないな。逢坂山峠の入り口では3度の表示だったが、車の温度表示では5度だった。まあこんな時間までいるのは暫くやめた方がいいな。9時には帰ることにしないと。

さっき気付いたが、先週の「代数学II」で交代群に関して一つよく分からない所があって、保留にしていた。考えないと。そこはかとなく気持ち悪い所もあるし、また下手したら徹夜だろうか？まあ昨日から今日に掛けてはちゃんと寝てるんで、一日無理するのは大丈夫。ということで何か週に3回くらい無茶してるが。一日ちゃんと（必要以上に）寝て、次の日は徹夜近い、ということね。まあ年内の講義は明日から来週の木曜までだから、後一週間必死にやるけど。もう準備は粗方出来てるので、そこまでやらなくてもいい。ゼミ中に聞かれたことを解決するのに時間をとられる可能性は十分にあるが。あ、何か面倒なメールが2通来てたな。返事しないと。やはり今晩は徹夜でしょうか？

二日続けての会議は疲れる

昨日は2時55分から院生向けの講義。が、時間に成っても学生が誰も来ない。レポート問題は今までの講義の内容で解けるから、もう構わんということだろうか？1分くらい経って一人来て、もう数分経ったらもう一人来たので、まあ始めるかと。一回書き間違いをしたら突っ込んできたので、講義についてこられているのだろうか？まあそれならそれで。昨日は Ostorwski の定理を証明して、それから Q_p の有限次拡大に p 進付値が一意的に延長出来て、その付値に関し完備、ということを示すために、有限次拡大のトレースとノルムの話を少々。トレースは必要無いから、今度やる時は省こうか？あと2回だが、どれだけ学生が来るでしょうか？この前も書いたが、Q_p の有限次拡大が完備であることをきちんと書いた物は見たことが無いのでやっているのだが。まあ誰も来なくてもいいです。こっちとしては大分勉強に成ったので。

4時50分から会議。今年度は学生員という仕事をやってる。でその会議が1時間半程の予定で行われる、と成っていたが、本当に1時間半やった。うちは物理の先生がとにかく真面目で、昨日も沢山発言されて、問題提起もされて、で長かったわけだが。

昨日書いた通り、呑む約束があったので、電話して会議が終わった旨伝えて、急いで帰る。6時半くらいだが、名神は混んでなかった。6時台はいつも混むのだが。で7時ちょい過ぎに住処に着いて、すぐふなごやに向かって合流。京大から何人かお連れに成るかと思いきや、皆それぞれ約束があったり都合があったりしたらしく、お一人で来られた。でお互いの大学の話だったり数学の話だったり Baystars の話だったり。前はよく一緒に日本酒を呑んだが、奥様のご趣味か最近はワインが多いらしく、こちらも店長の趣味でワインが多いので、魚介類を中心に食べながら合う白ワインを数杯。終電近くまで呑んでお開き。JR の駅への近道を教えてあげて感謝された。

火曜の晩は呑まないと、ということで、更に違法販売機（この言葉が面白いと言っておられた）で数本買って、呑み呑み先々週と先週のゴチバトルを見た。面白かった。それからどのタイミングか分からないがダウンした。

今日は4時50分から会議があった。オンライン参加でいいので、4時50分のちょい前に起きて、Zoom を起動させる。が、何やら本題とは別の話題がずっと続いていた。何だかよく分からない話だった。途中で Uber Eats にいつもの麻婆丼と餃子と唐揚げを頼む。いや、厳密に言えば「いつもの」ではない。一軒のお店が二つ看板を出していることがよくあって、いつもの店が一覧に無かったので、その店のもう一つの看板の方に頼んだ。来たものは同じ物だったので、まあ「いつもの」なのだが。届く頃には会議は終わってるかと思ったが、まだ続行中。食べ食べ会議に参加した。映像はオフにしてあるので、大丈夫。

会議終了後もう一度ダウン。「相棒」が始まった声が聞こえたので起きた。いや、見るためでなく、チャンネルを変えるため。ここ数年「相棒」は録画してあるだけで見てない。新幹線移動の時に昔のを見ているが、まだシーズン6。今やってるのはシーズン23。いつ追い付くんでしょうか？いや、見てた年もあるんだが、野球が佳境の頃にシリーズが始まるので、見る余裕が無くてつい溜まっていく。今は「緊急取調室」はちゃんと見ているが。こっちは映画が放映されることに成っていて、それを見るにはちゃんと見ておかないといけないから。「栄光のバックホーム」も見に行くし、色々忙しい。年内の講義はあと1週間ちょい。そしたら少し余裕が出来る。それから行こう。年末年始に実家に帰る時に幾つか録画していくので、そのためのハードディスクの余裕を作ることもするので、忙しい。いや、そんなのは忙しいことに成らないが。もう気付けば12月17日だね。今年の残りは2週間。早いぞ。

あ、月曜日の講義と昨日の講義の後始末をまだしてないな。やって演習担当の先生に報告しないと。眠いから今日は早寝するが、まあ「これ余談なんですけど…」が終わるまでは起きてるので、見い見いやるか。

tsunoさんとふなごやで呑んできました

tsunoさんとふなごやで呑んできました。

ほぼ徹夜状態で線形代数の講義。ゼミは学生がインフルエンザに罹り中止。

生産性の無いことに時間を使ってしまい、超寝不足。ハードディスクからディレクトリー（MS-DOS や UNIX で cd 命令を使っていた世代としては、フォルダーよりディレクトリーと言いたい）を随時コピーした筈なのだが、ファイルの数が合わない。おかしい。どれがどうなってるか目で追うのは大変至難の業。でこういう時は調べればすぐ出てくる。ディレクトリーの中身を比較するソフト（アプリよりこっちの方がしっくりくる）を見付けて、やってみて、であれがあったりこれが無かったり、ファイル名が同じなのに中身が違ったりと、結構根深く、結局ほぼ徹夜状態に成ってしまった。阿呆や。

今日は「数学IV（線形代数）」が1時10分からあるので、急いで出掛ける。居眠り運転だけには注意しないと。で無事着いて、弁当を食べながらメールチェックしたら、講義後のゼミが無しに成った。今日順番の学生がインフルエンザに罹ったらしい。でもう一人の学生は、流石に今から充分な予習が出来ないので、ゼミを無しにして欲しい、と。じゃあ講義が終わったら直帰だな、ということで、USB メモリーを刺さずに、パソコンの電源を落として講義に向かう。

今日の「数学IV（線形代数）」は線形変換の固有値、固有ベクトルの話。春学期に行列の対角化がやってあるので、そんなに大変ではない。しかしそれなりに重たい所ではあり、思ったより手間取った。大体済んだ。来週線形漸化式の話を手短に済ませて、残りの1回半くらいで内積の話を簡単にやる予定。直交化はやらないと。さあ大変だ。

生協の本屋を冷やかしてから帰宅。まだ高速道路は混んでないだろうと思ったが、大津インター近くで例によって小渋滞が始まった。あそこは登りに化ける所なので、速度低下による渋滞が毎度ある。三条通はいつもの通り結構混んでたが、対向車線の渋滞が激しいとむしろ右折で路地に入るのは楽。今日も対向車が譲ってくれて、すぐに入れた。4時半前に帰宅。

Uber Eats に麻婆丼と餃子、としたが、ここはしょっちゅうキャンセルしてくる。もう頼むのやめたろか、と思うんだが、麻婆丼は適度にスパイシーで好きなんだが。仕方ないので、王将に麻婆豆腐とライス中、餃子のセットを頼んで食べた。その後流石に起きていられなくてダウンした。テレビを消してなかったので時々意識が戻ったが、起き上がれなかった。さっき起き上がった。明日は講義と会議の後酒席があるので、今晩はちゃんと寝る。プロレスが終わると3時過ぎだ。見ようかどうしようか。取り敢えずメールに返信してから考える。明後日は短時間の会議がある旨学科長から連絡があった。いつもの調子で呑んだら大変なので、程々にする予定。

「栄光のバックホーム」、いよいよ見に行かないと

ふなごやに着いてみると、車が店の前に停まっていた。お客さんがそこそこいるということだな、と入ってみると、二組いた。最近の人は呑み会をお開きにするのが早く成っている。10時ちょいには二組とも帰っていった。その後お片付けやら何やらを済ませた後にいつもの通り楽しく。結構な時間まで呑んでた。

で例によって今日は結構な時間までダウンしていた。こういう息抜きはしないと。Uber Eats に適当に夕食を頼んで、食べながら前に放送していた横田慎太郎のドキュメントを見て、これはいよいよ映画に行かないとという気に成った。主演の松谷鷹也が先週「徹子の部屋」に出てたが、大学の途中まで野球をやっていて、親父さんはプロ野球選手だったらしい。松谷、ちょっと記憶に無い。投手だったそうだが、肩を壊して野球も大学も辞めたそうだが、今回野球選手の役をやるということで、社会人チームに4か月練習生として野球に励んでいたそうだ。ゆずの「栄光の架橋」を登場時の音楽にしていて、映画でもテーマ曲に成ったらしい。タイトルの「栄光のバックホーム」の「栄光」はゆずの歌からとったのかな。また二条の映画館に行こう。夜の部は終わるのが目茶目茶遅い時間だから、昼過ぎの部がよさそうだ。間宮祥太朗主演でテレビでドラマ化されたのを録画したのも出てきたし、そっちを見てからにしようか。

うちはアメフトが強いが、今日日本一に成ったそうだ。竹田という学生が活躍したそうだが、何と Baystars の竹田祐の弟らしい。兄弟で日本一がいい。来年は祐に頑張ってもらわないと。ドラフト1位だが、初登板は8月後半。そこから6試合登板で4勝1敗防御率1.69と力は見せた。CS でも Tigers 相手に5回2失点とまずまず。来年は更なる飛躍を是非。