ゼミはテキスト1冊終了

昨日は寝るつもりでいたんだが、うっかり群論の演習問題を考え始めてしまい、寝るのが遅くなった。p シロー部分群の個数を μ_p とした時、μ_p は #G の約数、とどの本にも出ているが、昔「代数学演習」で学生に配った解答を見ると、そうやっていない。でしばし考え込んでしまった。で冷静に成ってみると何てことない。#G＝p^ma、p は a を割り切らない、とした時、μ_p は a の約数。それはそうで、μ_p≡1 (mod p) だからね。分かってみると、解答がいくつか簡略化できる。そんなこんなしているうちに3時を回ってしまった。いかん。

で今朝は目覚ましで何度か目が覚めるも、スルー。最後は宅配便が届いて起こされた。時間を見ると11時過ぎ。まあよかった。1時からのゼミには間に合う。

で12時30分過ぎに職場に着いて、生協で弁当を買って掻っ込む。今日のゼミは楕円曲線の加法を幾何的に解釈する、という話。2点を結ぶ直線と曲線の交点を x 軸に関し対象に折り返した点を和とする、というあれ。イデアル類群との間に自然に全単射が定義されるから、一番難しい結合法則を証明しなくて済む。で y²＝x³＋1 上の6点（無限遠点を含む）の集合が加法で閉じていることを証明したいのだが、よくわからないという。どうも自分のやる所だけ読んできて、前を読んでいないと思われる。前のページに出ている図についてもう一度説明したら納得してもらえた模様。でその後凄く難しい事実群が紹介されているのだが、とても証明できるわけはないので、内容だけ話しておいた。で代数系の基礎を扱った章と補足の章はやっていないが、本が一通り終わった。次回から章末問題をやる予定。多分水曜日はあと4回。どれだけ出来るでしょうか？結構面白い問題が出ているので楽しみ。予習しておいた方がいいかな。

その後しばし群論。位数が6だと巡回群か3次対称群と同型、という事実の初等的な証明（シローの定理、コーシーの定理、アーベル群の基本定理を使わない、くらいの意味）が出ていたので、読んでみる。偶数位数の群は位数2の元を持つ、というのが存外難しい。が、出来てみればコーシーの定理よりは数段易しい。いや、位数6のアーベル群は巡回群、というのも証明しないといけないが、それもまあ初等的に出来る。ただ、やはり位数2の元の存在が効いている。アーベル群の基本定理から（ないしアーベル群の基本定理＋Chinese remainder theorem から）自明、は反則技にしたかった。位数が素数 p の2乗である群も、アーベル群であることを示せば後はアーベル群の基本定理から Z/p²Z または Z/pZ の二つの直積と同型、とやりたくなるが、アーベル群であることの証明に最後の主張も証明されている。証明はやはり読んでおきたいね。その後来週の講義の資料を眺める。1か所誤植を見付けた。多分 (Z/nZ)^× を扱った所に書いてあるのをコピペしたんだろう。「1≦j<n」と成っていたが、「0≦j<n」のミス。Z/nZ を扱ってるんでね。気付いてよかった。まあ何度も書いている通り、講義で聞いたことは安易に信用してはいけないので、ミスして気付かせた方がよかったかもしれない。まあいいです。

9時過ぎに職場を後にする。この前の通行止めが例外的なものだったのか、それともまだ続くかを確認していないので、不安だった。まあ寒くなるとフロントガラスが凍り付くので、多少早目に出た方がいい。8時には職場を出るようにしたい。金曜日は7時過ぎまで会議がある、と学科長は仰せだった。嫌だな。

今思い出した。今日は談話会（数学の話をしてもらう会を通常そう呼ぶ）があるのだった。すっかり忘れていた。終了後の食事会は遠慮すると伝えた時点でするっと抜け落ちていた。まずったな。来年はちょっと立場上今日のようなわけにいかなくなるので、気を付けよう。

今「報道ステーション」を見ているが、スペイン負けたそうじゃないか。リーグ2位通過の方が対戦相手を考えるとよかった、とか言ってたが、まさかのモロッコにPK戦で敗れたとか。しかも3人連続で止められたらしい。日本と似ている。余裕こいてるといいこと無いね。まあ全力で行った結果で、選手は日本にわざと負けたわけではないだろう。勝負の世界は厳しいね。

年に一度の健康診断

昨晩は結局サッカーを見た。攻め込んだり攻め込まれたりという展開。で前田のゴールで1点先制するも、追い付かれる。その後も一進一退。で延長にもつれ込み、延長でも決着が付かずPK戦へ。負けるような気がして見ていたが、案の定と言うか、負けてしまった。1人目から止められ、何と3人も止められてしまった。うーん、残念。ベスト8にあと一歩まで迫ったが。次の機会は4年後か。4年は長いな。ま、期待しましょう。

でその後すぐ寝た。ブラジル vs. 韓国は見なかったが、ブラジルの一方的な勝利だったようだ。ブラジルは強い。で起きたら昼を過ぎていた。今日は健康診断のため職場に行かないといけない。テレビを付けたらサッカーの話題がやっていたが、見る時間が無い。飲まず食わずで出掛ける。あ、血圧の薬は飲んだ。で結果は、血圧は良好、身長は何故か1cm以上伸びていた。体重は変わらず、視力も変わらず、聴力は一昨年ちょっと異常だったが、今年は正常と、極めて良かった。血液検査と便検査の結果は後日に成らないとわからないので、それを見て正常かどうか、改めて書く。最後にインフルエンザワクチンの注射をしてもらい終了。

その後個研室で少々。群論の演習を考えたり、昨日出来したちょっと悩ましい件について考えたりメールしたり。廊下で出会った同僚は極めてシンプルに考えているようで、まあ悩ましいとは言ってもその程度か、という気がしてきた。今日メールを書いて、即決断、というのは何となく気が引けるので、明日一杯皆さんの意見を待ってみる。

夕刻からFD研修会というのがあり、その後教授会。形式的な議事が多く、オンラインでやってくれるのは助かる。特にこの時期はいつも会議をやっている部屋が健康診断で使われているため、ローム記念館まで足を延ばさねば成らず、面倒くさかった。トータルで7時前には終了。

その後群論の続き。また演習書に誤植を見付けた。たまたま開いた本のたまたま開いたページに誤植、という目によくあう。まあ世の中の本はそれだけ誤植だらけということだな、と再認識。数学の本や講義を信じてはいけない。また Kaz 先生の登場だが、「自分で正しいと思ったこと以外は信用してはならない」とよく仰っていた。数学をやる上で何よりも大事な姿勢だな。この前石田信「代数的整数論」にさらっと書いてあり騙されそうになった点は、松坂「代数系入門」ではきちっと処理していた。石田先生がどれくらいちゃんと考えていたかは今となっては確認のしようは無いが、読んで騙された方が悪い。講義と本は考える材料を与えてくれるに過ぎず、そこから考えるのが聞く方、読む方の仕事。数学をやるというのは大変なのだ。で9時過ぎまで職場にいた。

帰ってきて「報道ステーション」を見ると、サッカーのニュースがトップニュースのようだ。まあそうだろうな。小生元々サッカーにそんなに興味があるわけではなく、いわゆる「俄かファン」なので、明日から平和に暮らせるのはむしろホッとしていると言ってもいい。まだ喪中ハガキを書いてないし、そろそろ書かないと。卒研配属関係の雑用が今週末で一旦終わるので、それから書くか。今日書かないのかって？いや、健康診断後食事をして、その後食事がまだ。これからコンビニに買いに行く。それから群論の問題の解答を TeX に起こして、で明日は卒研ゼミがあるから、それなりの時間に寝ないといけないので、今日は喪中ハガキは無し。

走行距離11111kmに到達

昨晩はフランスが勝つのを確認してから寝た。いや、別にそんなに興味は無いんだが、何となく気に成ったので。2時を過ぎていた。

で今朝は、いやもう昼だが、1時くらいに起きた。シャワーを浴びて、例によって飲まず食わずで出勤。職場に着いたのは2時前で、まだちょっと余裕があったので、弁当を買って食べた。個研室からコラーニングIIまでの所要時間を正確に把握していないので、外で食べた。

2時40分から「代数学II」。今日は7分体の部分体を全て求め、その後アーベル拡大の中間拡大はまたアーベル拡大であることなど。Kronecker-Weber の定理を紹介したり、Galois の逆問題という未解決問題があることを紹介したり。で3次方程式と4次方程式の解法を軽く紹介。ガロア理論的な解釈はせず、こうやって昔の人は解いた、ということだけ紹介。でどちらも自明な因数分解を持つが、公式を使って解くととても解が有理整数に見えない、という例を挙げておいた。で多項式のガロア群を紹介して、二つばかり例を挙げた所で時間。というかその続きを印刷してないので、終了せざるを得なかったが。

その後M2の学生と会う約束に成っていた、と思ったが、来ていなかった。いいんだろうか？まあ今日は大事な会議があることに成っていたので、まあよかった。色々あって7時近くまで。

その後部屋で2次募集の書類の整理。15人出してきた。昼前に見た時は4人だったが。皆悩んだのだろう。幾何の先生はお優しいのだろうか、人気だ。Kaz 先生が「うちの学生は幾何が嫌いみたいや」と言ってのとは隔世の感がある。今は代数が人気無い。小生とT教授と合わせて3名。まあ小生の講義には5～6人しか出席していないからね。来年度は4人も大学院に進学するので、バランスが取れていいや。まあまだ卒研ガイダンスのことを何も知らずにいる太平楽が数名いるだろうから、4月に成らないと最終的なことはわからないが。

その後ちょっと代数の演習書をひっくり返してみた。気に成った問題があったので。でまた誤植を見付けてしまった。実数の加法群 R を扱っているはずの問題で、2箇所 R* になっていた。それと、無限巡回群の自己同型群を決定する問題の解答が途中で終わっていた。当然 {±1} と同型に成るのだが、1に対応する元（まあ恒等写像だが）を見付けた所で終わっている。うーん。結構売れてる本の筈だが。小生が買ったのは随分前だから、今売っているものだと直っているかもしれない。年度末に予算が余るようだったら、最新の版を買おう。

通行止めが怖いので、9時くらいに職場を後にした。で高速道路を通って。京都東インターに着いた頃にメーターが 11111 に。おぉ、感動。次のぞろ目は見ることが出来ないだろう。何しろ 11111 に辿り着くのに2年以上掛かっている。1年後にはもう違う車に乗っている。そうだ、12345 なら何とかなるな。次はこれを目標にしよう。

薬のことがニュースでやっている。薬不足だとか。ジェネリックが特に深刻。血圧の薬も供給が追い付かないらしい。小生高血圧で、薬を飲んでいる。もちろんジェネリック。次は来週処方箋を書いてもらうことに成っているが、薬手に入るだろうか？まあ少しストックがある。寝坊して飲まないで、そのまま寝てしまう、ということを結構やってる。今日も飲んでない。明日は健康診断だから、忘れず飲もう。考えてみれば、今週も来週も火曜日に行かないといけないのか。まあ酒の量が減っていいけどね。スポーツ見ながら呑むという習慣は無い（野球を球場で見る時は別）ので、今日も呑まなくてもサッカーは見られる。見ようかな。

スポーツニュースはクロアチア戦の話題が中心

何かその後寝る気が起きず、明るくなるまで起きていた。「サンデーライブ」はスペイン戦の話題ばかり。まあ当然ですかね。月曜から火曜に変わる0時にクロアチア戦が始まるそうだ。見られるな。見ようかどうしようか。0時までプロ野球ニュース。見られる。0時半からの「激レアさんを連れてきた。」は見られなくなるな。録画するか。それほどの番組か？という気もする。まあその時の雰囲気次第だな。

卒研の二次募集だが、今見たら3名提出していた。どうやら設定はちゃんと出来ていたようだ。明日が締め切りだが、皆ちゃんと出すだろうか？まだ心配。

今「サンデースポーツ」を見ているが、当然の如くクロアチア戦の話題が中心。下馬評では fifty-fifty のようだ。クロアチアは強そうだが、チャンスはある。やっぱり見るかな。

拓ちゃん死す

相変わらずわけのわからない生活をしている。何度か目が覚めたが、起きられない。で何度目かの覚醒のタイミングで、呑み屋の大将が誘いを掛けてきた。うっかり「呑みに行きます」と返信してしまったので、呑みに行く。昨日書いた通り中2週間空いてるので、盛り上がった。途中で時々バイトに入っている人が客として来て、より盛り上がる。サッカーの話とか。で途中ビックリする話題が。「拓ちゃん死んだんですよ。」拓ちゃんって言うのは、いつも土曜日に来ていた常連さん。川谷拓三に似ているので、若い頃からそう呼ばれていたらしい。最近見ないな（いや、最近と言っても中2週間空いてる）と思っていたのだが、心筋梗塞で入院したらしい。でそのままとか。75歳を過ぎていたが、元気そのものみたいな人だった。人生は儚いな。身寄りがいたので判明したようだが、小生のようにこっちに身寄りがいないと、死んでも誰にも知られない可能性がある。まあ駅前の交番の人が定期的に見回ってくれているので、兄者には連絡は付くと思うが、だからと言ってこっちに兄者に来てもらうのは申し訳ない。逆に兄者に先に死なれても困る。従兄妹に居場所を教えておいた方がいいかも、と思った。母親が死んだ時に思ったが、80年以上生きてきて、最期はわずかな骨壺一つ、趣味で作っていた縫物とか全部ゴミにしかならないとは、何と儚い、と。最期は静かに、そして後腐れなく迎えたいですね。

奇跡の1mm

今朝は11時半くらいまで寝ていた。まだだるい。ゼミを無しにしてくれというメールでも来ていないか、と思ってスマホを見ると、びっくり。日本、スペインに勝利、の情報。いっぺんに目が覚めた。へー。まあ情報を仕入れている時間は無いので、シャワーを浴びて急いで出掛ける。昼飯を食べる時間は無いが、ゼミ終了後食べようということで、買っておく。

今日のゼミは先週のヤコビ和の話の続き。計算するだけで済む内容なので、特にツッコミどころは無かった。その後正多角形の作図の話。ここは整数論じゃないから飛ばそうか、と思っていたんだが、まあいいか、ということでやらせる。が、やってよかった。勉強に成った。p がフェルマー素数 ⇒ 正 p 角形は作図可能、というのは、p－1 が2冪だから、ガロア群が2群。よって指数2の部分群の列が作れて、ガロア理論でひっくり返して、ほら、2次の拡大の列が出来た、と講義でやってる。しかし今日の証明はそうでなく、ガウス和とヤコビ和を使うもの。ガロア理論を使わない。ζ_2^k が作図可能であることを示す必要があるが、これは簡単。ということで、正 p 角形が作図可能なのはガロア理論を使わないで示せる。勉強に成った。で3人目の番だが、予習が十分で無いので、来週にしてくれ、ということで3時半前に終了。腹が減っていたしよかった。

ゼミ終了後メールと manaba+R をチェック。卒研の再応募は相変わらず0名のようだが、いいんだろうか？他にもちょっとだけやって、渋滞と工事による通行止めを避けるため、5時ちょいに職場を後にする。渋滞は「瀬田西－京都南 13km」だが、もう30分経つと「草津JCT－京都南 17km」に成るので、まあよかった。

6時過ぎに帰ってきた。テレビを付けるとスペインに勝ったという話題一色。何でもボールポゼッション率が14％で、これは過去に勝ったチームで最低とか。ドイツ戦とスペイン戦の共通点は、前半攻めさせて疲れさせたところでフォワードを投入して足の止まった相手から得点、だそうだ。コスタリカ戦は日本が圧倒的に攻めていて負けた。で次の日本の相手はクロアチアらしいが、コスタリカ戦と同様の展開に成り負ける、という予言をしている人がいたが、どうだろうか？まあ何にしてもよかった。

で今Yahoo！を見てびっくりした。渡辺徹死去。うーん、悲しい。

で松坂「代数系入門」を見てまたびっくりした。「Z₂(x) を体 Z₂ 上の変数 x の有理式体とする。Z₂(x)/Z₂(x²) は2次拡大だが正規拡大でないことを示せ」と書いてある。え？と思って定義を見て安心。この本では「K が E のある有限自己同型群 G の固定体と成っている時、E を K の正規拡大またはGalois拡大という」と成っているのだった。問題の略解を見ると、ガロア拡大でないことを示していた。ホッとした。嘘教えてるんじゃないかと思って焦った。まあよかった。で上の拡大がガロア拡大でないことはまだ示してないので、後で示すことにする。2次拡大であることは前に示した。（任意の体でOK。）

さて、金曜日の晩にも呑むことが習慣化している。で土曜日にいつもの呑み屋に行くのが習慣だったのだが、2週間行ってない。明日は行こう。そのために今日は呑まないことにしよう。喪中ハガキをまだ書いてないので、いい加減書くか。

寒いぞ！と脅されていたが、そうでもない

また朝まで起きていた。何をしていたのかと言うと、卒研一次配属の結果をまとめて web に上げる仕事。優しそうな先生と役立ちそうな数学をする先生に偏り、ゼミとして機能しなくなりそうだと判断した先生が何人かを配属させないため、落選した学生向けに二次募集の案内文を書いたりなど。で配属された学生のリストを作るのだが、学生に何でも pdf で提出させている以上、こちらも pdf で掲示しないといけないだろう、ということで、わざわざ .txt で作ったファイルを Word で読み込み直して .doc ファイルにして、Acrobat で pdf に変換。で作業に漏れが無いか、何度も確認。ずーっとそればっかりやってると良くないので、合間に数学。が、いつの間にか数学が主に成ったり。昨日職場で久々に石田信「代数的整数論」を引っ張り出してきて納得したことを、住処で再現しようと思ったのだが、思い出せない。確か対称式を基本対称式で表す、という基本的なことで済んでいたはずだが。こちらもずーっとやってると堂々巡りに成り良くないので、合間にエントランスに行って郵便をチェックしたり。でようやくわかった。が、最後が何か怪しい。√d が体 Ｋ に入ることはすぐ従うんだが、下の体 F に入ることが出てこない。安易に ⇔ で繋ぐと見逃してしまう。多分数十年前に石田先生の本を読んだ時も気にしなかったんだろう。冷静に A ⇒ B と ￢A ⇒ ￢B に分けたら分かった。で雑用に復活。Web に二次募集の資料を上げた時はもう明るくなっていた。夕方4時掲示、と約束しているので、時間を設定したが、見えるんでしょうか？不安。

でそこで一旦横に成る。節電が叫ばれている中、電気もテレビも付けっ放し。パソコンも。よくないね。で起きて manaba+R をチェック。さすがに今日4時掲示で、その日のうちに再応募という肝の座った人はいないようで、まだ再応募者は0名。本当に見えてるんだろうか？不安だ。問い合わせの1件でもあればいいのだが。不安。幾何の先生に応募した学生に「整数論に興味があります」とした学生がいた、と言っていたが、その学生は小生の所に来るでしょうか？

さて、昨日あたりから寒くなるぞ！と脅されていたんだが、そんなに寒くない。去年の冬は床暖房を付けっ放しにしていたくらい寒かったのだが。寝不足なのでドーピングの必要があり、さっき表にドリンクを買い出しに行ったが、夏に買ったスエットに薄手のジャンパーという服装だったが、大丈夫だった。まあ昨日は最高気温16度、今日は13度、明日は11度、と言っていたから、明日は本当に寒いのかもしれない。厚手のジャンパーを出しておこう。手袋も使える状態にしておかないと。夜遅くなるとガラスがピキピキに凍り付いて、駐車場から出るのに時間が掛かるが、明日は工事による通行止めを避けるため、早目に職場を出ようと思っているので、凍り付きはしないだろう。大体工事による通行止めがある時は工事業者から案内が来ているのだが、今朝見た時はそのようなものは届いていなかった。いつまでやるんだろうか？暫く8時前には職場を離れた方がよさそうだ。

明日の朝4時から、サッカーはスペイン戦だそうだ。今日寝不足だし、起きられないな。そこまで起きているのも無理。いや、明日用事が無かったら起きているんだが。明日は1時からゼミ。色々トラブるので、しゃきっとして行かないと。ということで、ボチボチ寝よう。ちゃんとした生活をしないと一日無駄に成るのはよくわかってるんだが。来週は健康診断があるので、今週末の呑みはほどほどにしておこう。ではおやすみなさい。