昨日は寝るつもりでいたんだが、うっかり群論の演習問題を考え始めてしまい、寝るのが遅くなった。p シロー部分群の個数を μp とした時、μp は #G の約数、とどの本にも出ているが、昔「代数学演習」で学生に配った解答を見ると、そうやっていない。でしばし考え込んでしまった。で冷静に成ってみると何てことない。#G＝pma、p は a を割り切らない、とした時、μp は a の約数。それはそうで、μp≡1 (mod p) だからね。分かってみると、解答がいくつか簡略化できる。そんなこんなしているうちに3時を回ってしまった。いかん。
で今朝は目覚ましで何度か目が覚めるも、スルー。最後は宅配便が届いて起こされた。時間を見ると11時過ぎ。まあよかった。1時からのゼミには間に合う。
で12時30分過ぎに職場に着いて、生協で弁当を買って掻っ込む。今日のゼミは楕円曲線の加法を幾何的に解釈する、という話。2点を結ぶ直線と曲線の交点を x 軸に関し対象に折り返した点を和とする、というあれ。イデアル類群との間に自然に全単射が定義されるから、一番難しい結合法則を証明しなくて済む。で y2＝x3＋1 上の6点（無限遠点を含む）の集合が加法で閉じていることを証明したいのだが、よくわからないという。どうも自分のやる所だけ読んできて、前を読んでいないと思われる。前のページに出ている図についてもう一度説明したら納得してもらえた模様。でその後凄く難しい事実群が紹介されているのだが、とても証明できるわけはないので、内容だけ話しておいた。で代数系の基礎を扱った章と補足の章はやっていないが、本が一通り終わった。次回から章末問題をやる予定。多分水曜日はあと4回。どれだけ出来るでしょうか？結構面白い問題が出ているので楽しみ。予習しておいた方がいいかな。
その後しばし群論。位数が6だと巡回群か3次対称群と同型、という事実の初等的な証明（シローの定理、コーシーの定理、アーベル群の基本定理を使わない、くらいの意味）が出ていたので、読んでみる。偶数位数の群は位数2の元を持つ、というのが存外難しい。が、出来てみればコーシーの定理よりは数段易しい。いや、位数6のアーベル群は巡回群、というのも証明しないといけないが、それもまあ初等的に出来る。ただ、やはり位数2の元の存在が効いている。アーベル群の基本定理から（ないしアーベル群の基本定理＋Chinese remainder theorem から）自明、は反則技にしたかった。位数が素数 p の2乗である群も、アーベル群であることを示せば後はアーベル群の基本定理から Z/p2Z または Z/pZ の二つの直積と同型、とやりたくなるが、アーベル群であることの証明に最後の主張も証明されている。証明はやはり読んでおきたいね。その後来週の講義の資料を眺める。1か所誤植を見付けた。多分 (Z/nZ)× を扱った所に書いてあるのをコピペしたんだろう。「1≦j<n」と成っていたが、「0≦j<n」のミス。Z/nZ を扱ってるんでね。気付いてよかった。まあ何度も書いている通り、講義で聞いたことは安易に信用してはいけないので、ミスして気付かせた方がよかったかもしれない。まあいいです。
9時過ぎに職場を後にする。この前の通行止めが例外的なものだったのか、それともまだ続くかを確認していないので、不安だった。まあ寒くなるとフロントガラスが凍り付くので、多少早目に出た方がいい。8時には職場を出るようにしたい。金曜日は7時過ぎまで会議がある、と学科長は仰せだった。嫌だな。
今思い出した。今日は談話会（数学の話をしてもらう会を通常そう呼ぶ）があるのだった。すっかり忘れていた。終了後の食事会は遠慮すると伝えた時点でするっと抜け落ちていた。まずったな。来年はちょっと立場上今日のようなわけにいかなくなるので、気を付けよう。
今「報道ステーション」を見ているが、スペイン負けたそうじゃないか。リーグ2位通過の方が対戦相手を考えるとよかった、とか言ってたが、まさかのモロッコにPK戦で敗れたとか。しかも3人連続で止められたらしい。日本と似ている。余裕こいてるといいこと無いね。まあ全力で行った結果で、選手は日本にわざと負けたわけではないだろう。勝負の世界は厳しいね。
