12時55分までに職場に着けばいいので、10時半か11時に起きればいい、ということを出来ずに何度も遅刻した。で今日こそは、と思って気合が入り過ぎたか、8時半前に目が覚めてしまった。暮れに録画しておいた番組を見て時間をつぶそう、と思って見ていたのだが、眠くなってしまい、横に成る。で起きたら12時過ぎ。いかん、と押っ取り刀で飛び出す。駐車場に着いてからまっすぐゼミ室に行けば間に合うのだが、サンドイッチを買いに生協に寄ってしまったので、ゼミ室着は定時から3分後。むう。まあいいか。
でゼミ最終回。まずは素イデアル分解の一意性から。ちょっと予習不足のような気がしたが、まあ最後くらいは必要以上の突っ込みを入れるのはよそう、ということでスルーした。その後イデアル類群を定義して、イデアル類群が有限群であることを証明。で Z[√－1] と Z[√－2] のイデアル類群が自明な群であること、即ちこの二つの環がP.I.D.であることを証明した後、Z[√－5] のイデアル類群が単項イデアルの類と2の上にあるイデアルの類の二つの元からなっていることを証明。さて、というとこで予習が尽きたらしく、一番肝心な話が出来ない。仕方ないので手助けを出すことにして、話してもらう。でどうにか x2＋5y2 の形の素数を決定出来た。あまりイデアル類群のありがたさはわからなかったかな。まあいいです。コロナが収まっていればこのまま呑みに行くんだが、ちょっと今の感染状況では無理。ということで仕方なくそこでお別れ。お疲れさんでした。
その後生協に注文してあった品が届いたという連絡があったので、受け取りに行く。ここ数日で研究費を7万以上使った。4万の品と3万の品（何かは内緒）を買ったので当然。他にも数セミやマウスなどを買った。領収書の処理をして、とりあえずは完了。
その後会議。今日は修論公聴会のプログラム決めなど。思ったより時間は掛からなかった。
その後ちょっと代数の勉強。X4－10X2＋1 が全ての有限素体上可約であることの証明が本に出ていたんだが、どうしてこういう証明を付けられるんだろう？としばし考えた。で冷静になったらすぐわかった。X4－10X2＋1 の Q 上の最小分解体は Q(√2,√3)。有理数体には√2, √3, √6 どれも含まれないので Q 上既約だが、有限素体には√2, √3, √6 のどれかが含まれる。だから X4－10X2＋1 は有限素体上既約ではあり得ない。ということでルジャンドル記号 (2/p)、(3/p)、(6/p) の具合によって場合分けされるのだな、と。この手の問題は20年位前にM君（デカい）が院試の過去問の質問に来た時に出会った。その時の多項式は複2次式に成っていなかったので、難しいか、と思ったが、X を X＋1 に取り替えたらすぐ複2次式に成った。でその結果は X4－3X2＋25 だった。これの Q 上のガロア群を求めるのが小問(1)、そして(2)がこの多項式が全ての有限素体上可約であることを示させる問題。(1)の答えが V4 だった。で有限素体 Fp 上既約だったら、全く同様の論法によって Fp 上に V4 拡大が出来てしまい矛盾、という解答を付けてあげたのだった。それ以来この手の問題のガロア理論を使わない証明は無いか、と考えていたんだが、巡り合えた。この多項式の Q 上の最小分解体は Q(√13,√－7) だから、今度はルジャンドル記号 (13/p)、(－7/p)、(－91/p) の具合でわかる、ということになった。で X4－3X2＋25 を Q(√13)、Q(√－7)、Q(√－91) 上で分解しよう、と思って Maple にやらせた。factor(X^4－3*X^2＋25,sqrt(13)) とやれば Q(√13) 上で分解してくれる。で sqrt(13) を sqrt(－7) にしたらエラーが出た。i√7 はだめだとさ。でその後 factor(X^4－3*X^2＋25,RootOf(_Z^2＋7)) とやればいいということがわかった。SageMath では F＝QuadraticField(－7); R.<X>＝F[]; factor(X^4－3*X^2＋25) とすれば出来た。じゃあ Pari/GP では、と思ったがわからなかった。また今度やろう。
その後事務に一件メールを書いて、9時過ぎに職場を後にする。が、これが失敗。外はすごく寒い。これは車は凍り付いてるな、と思ったら案の定。フロントガラスとリアガラスは凍っていて、エンジンを掛けたら「道路凍結注意」とか、「フロントカメラの視界不良」とか恐ろしいメッセージが次々と出てくる。仕方ないので、エンジンを掛けてガラスの曇り止めを仕掛けて氷を溶かし、状況がよくなるまで待った。前も後ろも見えないのではもちろん運転できないからね。急いでいなくてよかった。明日以降はもうちょっと早目に職場を離れることにしよう。明日が寒さのピークだ、と「報道ステーション」で言っていたが、幸い明日は職場に行かなくていい。本当はゼミがあるのだが、レポート出ること山の如しのような状態のようで、無しにしてくれ、と言われていたので。今日のゼミも一人欠席したが、同級生によればレポートの山らしい。大変だ。小生のレポートも多分明日締め切り。多分って何？という人は小生のブログの昔のものを見てください。ちゃんと説明してあるので。しかし滋賀の寒さなんてーのは北海道のそれに比べたら大したことはない。北海道の人たちは野ざらしの駐車場に車を止めていたらどうするんだろう？北海道に知り合いはいるが、車には乗っていないようなので、聞いても仕方ない。まあいいやどうでも。
