番長新監督に

昨日の晩思いついた方法はうまくいった。何をしたかったのかというと、楕円曲線 y²＝x³－31 が整数点を持たないことを証明したかった。で有理点が無限遠点以外に無いことを言えば上等なので、コンピューターでどん、では納得がいかない。整数点が無いこともコンピュータでどん、でいつもは済ませるんだが、それも却下。まず Thue 方程式 u³＋3u²v－21uv²－15v³＝16 が整数点を持たないことに帰着させて、これも KASH や PARI/GP を使えば瞬殺。が、解が無いことを示すのにブラックボックスに任せるのは納得がいかず、考えた、というわけ。で最初考えたのは、この式を mod 8 で見ると左辺が u³＋3u²v＋3uv²＋v³＝(u＋v)³ となり余りに綺麗なので、この方法で解が無いことを証明しようと。美しさに魅入られたのが最初の失敗。で色々失敗。昨日書いた思いついた方法というのは、四の五の言わずに小さい整数を法として解が無いことを言えばいいという、超初等的な方法。でまずコンピューターで実験。というところが弱いところだが、まあそういう風に数学をやってきたので、止むを得ない。で m を入力して x,y を 0 から m－1 まで回して解があったら表示させる、という2重 for ループを書いて、m＝9 としたらうまいこと解が無かった。でここで納得してもいいんだが、それでもやはり芸が無い。ここは手計算で納得出来る方法を模索。まず元の式から u≡1 (mod 3) がわかるので、u＝1,4,7 だけで十分。で u＝1＋9k, 4＋9k, 7＋9k としてみたら、u³＋3u²v－21uv² －v³ mod 9 は k によらないばかりか 1, 4, 7 にも依らない。ほうっ、ということで実際に手計算してみるとその通りだった。ということで v を変数とする多項式の mod 3 での値を見るだけで十分に成った。こうなると流石に手計算の方が早い。で目出度く解無し、ということを納得いく形で証明できた、というのが昨日の晩の顛末。早く寝る積もりだったが、何だかんだで3時半過ぎまでやっていた。まあすっきりしたのでよし。新しいことを発見できたわけではないが、こういう無駄な計算の積み重ねが「数覚」を鍛えるのだ。

で寝て、起きたら2時を回っていた。ぎゃ！ということでシャワーを浴びて、職場に処方箋をもらいに行く。3時半過ぎくらいに職場着。保健センターは4時までなので、何の問題も無い。血圧も低く、こちらも何の問題も無し。その後「数学セミナー」を買って個研室へ。晩に計算したものを TeX にまとめる。一応もう一度計算してみよう、ということで職場では SageMath が動かせるので、起動、K.<w>＝NumberField(x^3－ｘ+8) として、(u+v＊w)^3 としたら、u は何だ、俺は知らないぞ、というわけで、u＝var(’u’); v＝var(’v’) とした。でもう一度やったらエラーが出る。エラーメッセージをみると、v＊w を計算しようとして出たエラー。変数と代数体の元を掛けるには一工夫いるようだ。で面倒くさくなって PARI/GP に計算させる。こちらは w＝quadgen(－31) として (u＋v＊w)^3 とするとさくっとやってくれる。で晩の計算が間違っていないことを確認して、任務完了。これで y²＝x³－31 に整数解が無いことを納得行く形で証明できた。やれやれ。

ということで職場を7時くらいに後にした。そこで気付いた。今日は教授会だった。うーん、2回連続さぼってしまった。まあいいや、と気を取り直して食事に向かう。久々にココ壱にしよう。最近揚げ物が続いているから、今日は納豆カレーだ、と決めて小野へ向かう。が、ココ壱が無い。がーん、潰れたか。しかしもう完全に舌が納豆カレーに成っているので、石田のココ壱まで足を延ばした。カレーラーメンの幟が出ていてそそられたのだが、今日は納豆カレーだ！ということで意地で食べた。カレーラーメンはまた今度。美味しかった。で帰り道に確認したら、小野のココ壱はあった。ココ壱とラーメン屋の間に空き地があったのだが、そこに建物を建てている。その現場でココ壱がすっぽり隠れていただけで、潰れたわけでは無かった。よかった。カレーラーメンを食べに近いうちに行こう。

土曜日に仕事が入って、集合は9時だか9時15分だか。とんでもない。健康診断の9時半でさえ早朝と思っていたのに。今日辺りから少しずつ早寝にシフトするとしよう。と計画しても出来ないのはわかりきっているんだが、まあ気持ちだけでもね。

番長が新監督に！来年はやってもらいましょう。