「因数分解出来ない」とは？

今日は You Tube を沢山見てしまった。例によって大学受験問題の解法を。整数問題が沢山あって面白かった。n³－7n＋9 が素数となる n∈Z を決定せよ、という問題が面白かった。左辺が Z 上で因数分解出来たらいいな、と思ったが、そうはいかなかった。でどうやるんだろうと見ていたら、何と n³－7n＋9 は全ての n∈Z に対し3の倍数になる、ということが実験してみるとそうなりそう、というところを手掛かりにして解く、という解答。でその３の倍数になることを示す方法が野暮ったい。n＝3k, 3k+1, 3k＋2 として、とか、n³－n－6n＋9=(n－1)n(n＋1)－6n＋9 とする方法とか。Fermat の小定理を知っていれば、n³≡n (mod 3) が一瞬で分かる。いや、そんな難しいもの使わなくても、n²≡1 (mod 3) だから、n³≡n (mod 3)。そうやるのが一番速いと思うんだが。合同式の性質 a≡b (mod m), c≡d (mod m) ⇒ a±c≡b±d (mod m), ac≡bd (mod m) は使っちゃいけないんだろうか？合同式自体がそもそも反則な気がしないでもない。だったら反則は徹底的にやって、合同式で徹底的にやるのがいいと思うんだがなぁ。うん、まあいいか。問題としては面白かった。流石は京大。他にも連立ペル方程式に解が無いことを証明させる問題があったり、指数型不定方程式を解かせる問題があったりと、国立大学は無茶しよる。うちもこういうのを出したいが、記述じゃないと辛い。記述だと採点が辛い。まあ採点は楽でいいから、整数問題を出すのは我慢しよう。

時に、「因数分解」という言葉を初めて聞いたのは高校の時だろうか？それとも中学の時だろうか？「因数分解が出来ない」と You Tube の出演者はしばしば口にするが、それは恐らく Q 上で因数分解出来ない（Z 上で因数分解できないと言っても同値だが）、まあそういう意味なのだろう。「実数の範囲で因数分解する」という言い方もあると思うので、「因数分解出来ない」はちょっといかんと思うね。定義体を特に言わない場合は Q 上というのが暗黙の了解、というならそれはそれでよい。Maple がそうだしね。SageMath や Pari/GP もそう。うん、まあいいや。気にしないことにしよう。