昨日は日が変わる前には寝た。で月曜日は12時にアラームが仕掛けてある。ということで爆睡。目が覚めた時はまだアラームが鳴っていなかった。何時じゃ？と思って時計を見たら2時。昼ね。嘘！と慌てて起きる。実家でスマホのアラームが鳴ると、親父殿がうるさがる。止め方がわからず起こされる、というパターンを毎年繰り返していたので、暮れに全部アラームを解除したのだった。飲み食いせず飛び出す。そうは言ってもまだ追い越し車線に出て追い抜きバンバン、ということはしないで済む程度の時間。2時半には駐車場に着いていた。
で講義室に着いたのは2時35分頃。学生は1人。まあ大抵ギリギリに2、3人入ってくるので、今日もだろう、と思っていたら、誰も来ないままチャイムが鳴った。1人か。末期症状だな。まあそれでも気にせず講義したが。今日は有限体の元の個数は素数の冪であることから始めて、逆に素数の冪 q（≠1）を与えるごとに q 元体が同型を除いて unique に存在することを証明。さらに有限体の有限次拡大はガロア拡大で、ガロア群がフロベニウス置換で生成されることなど。やってみるとどれも案外難しい。30分くらいで済むだろうと思っていたんだが、75分も掛かってしまった。その後代数学の基本定理を証明する節に。今日は実数体 R の奇数次の拡大体は R のみであることしか示せなかった。来週は C の2次拡大体は無いこと、 p 群の中心が非自明であること、それを用いて p 群が可解群であることなどを証明して、代数学の基本定理の証明を終わらせる。その後3大作図問題と正多角形の作図をやりたいが、どこまで出来るだろう。3大作図問題はガロア理論を使わず出来る。正多角形の作図はガロア理論を使う。ゼミでヤコビ和の評価を使えばガロア理論はいらないことを教えてもらったが、今からヤコビ和をやるのは無理なので、ガロア理論を使う。が、時間はあるだろうか？
今日の講義は大事だった。Fq という記号をレポートの問題で使っているが、この記号は今日定義した。q が素数の時は Fq は Z/qZ だが、q が素数の冪で1でも素数でもないの時は違う。Fq が Z/qZ のことだと思って質問してきた学生がいたが、違うぞ、と返事しておいた。でさっき20日締め切りのレポートの提出状況を見たら、3人提出していたが、案の定同じ間違いをしている。これは有限体あるあるで、コブリッツの保型形式の本を後輩が読んでいる時も、卒研ゼミで楕円曲線の本を読んでいる時も間違えていた。今日の講義でその旨注意して、じゃあ Fq と同型であることをどうやって示せばいいか、ということを話した。3人位しか出席者はいないだろうから、サービス、と思ったのだが、1人では。M 君（珍しく名前と顔が一致している）は得したね。
生協で弁当を買う。スマホショッピングも大分慣れてきた。次回は大丈夫だろう。弁当を掻っ込みながら講義資料の直し。講義中に一箇所「ん？」となる所があったが、一瞬で問題無いことがわかった。が、やはりちゃんとした方がいいだろう、ということで講義資料を直す。因数定理を使うことを書くだけで大分違う。それと、K：体、F(X)∈K[X]、t1,t2∈K：F(X) の相異なる根 ⇒ (X－t1)(X－t2) は F(X) を割り切る、という事実を使った。これは K[X] が U.F.D. だから問題無い。が、それを意識している学生は皆無だろう。でちょっと考え始める。K[X] が U.F.D. であるということは、体 K の代わりに U.F.D. ∀R にしても問題無い。がちょっと条件が厳しいな、もう少し緩められないか、と。でしばらく考えたら R は任意の整域でいいことが示せた。R が整域でない時は駄目、という例は簡単に作れる。R＝Z/8Z、F(X)＝X2－1 にすれば、F(1)＝F(3)＝0 だが、(X－1)(X－3) は F(X) を割らない。これも気を付けないと F(X)＝a(X－1)(X－3), a∈R として矛盾を出す、とやりたくなるんだが、整域でない環だと deg(FG)＝deg(F)＋deg(G) は一般には成り立たないので、F(X)＝G(X)(X－1)(X－3)、G(X)∈R[X] として deg(G)＝0 であることも示さないと。で注意深くやって、出来た。TeX 化しておく。Web に上げる演習問題にも加えておく。で今書きながらもう一つ気に成った。分離多項式を割り切っていれば分離多項式、というのはどうだろうか？これも体上の多項式環が U.F.D. であることを使えば容易。今度考えよう。と誰も興味を示さない講義と誰も解かない演習問題を考えて、9時半くらいまで職場にいた。
夕方飯を食ったが、もう腹が減ってきた。昨日「松のや」の鰺フライが食べられなかったので、南草津の「松のや」に寄る。鰺フライ2匹の定食にしようかと思ったのだが、鰺フライ1匹と海老2本の定食というのがあったので、こっちにする。ご飯は小盛で。旨かった。生協の鰺フライよりボリュームがある。勿論生協は安いのだが。食器を下げて出口へ向かうと、知った学生がいた。スマホに夢中でこっちに気付かなかったので、声は掛けなかったが。
今日の国道1号は馬鹿にすいていた。そのせいなのか、それとも広報がきいたのか、自転車が2台車道を走っていた。すいていたので反対車線にはみ出して追い抜いた。センターラインは黄色くなかったと思う。いや、どうだったかな。まあいいや。峠道も全然車がおらず、スピードを出す必要が無いので安心して走る。三条通りに入ってもすいてる。何故だろうか？まあ混んでるよりいいけど。
10時40分くらいに住処に着く。報道ステーションのスポーツコーナーでヌートバー（WBC日本代表）のことを取り上げていた。こういう顔をしてるのか。日本とアメリカのハーフだと言っていたが、あまり日本風な顔ではないな。昔国際大会のバットボーイをしたらしく、ダルビッシュ有や田中将大と写った写真があった。「将来の夢は日本代表」と言っていた。叶ってよかったね。後は活躍してくれれば文句無し。頑張って下さい。
事務から来るメールを見ると、早くも新年度モードに成っているようだ。4月の準備をこんな時期から始める、というのは中々思いが及ばない。新年度のシラバスもそろそろ締め切りだ。いい加減書くか。まあ講義スケジュールはいじらなくていいが、レポート試験が廃止になるそうなので、成績の付け方を考えないと。定期試験をやってもいいことに成ったが、まだコロナの影響を考慮に入れよ、と言われている。具体的には、試験を受けられない学生がいるだろうから、成績評価のうち定期試験のウェイトは40%程度にせよ、と。うーん、それじゃあんまり試験をやる意味無いな。レポート試験は廃止だが、これはレポートで成績を付けてはいけない、という意味ではない。ということでレポート100％にしよう。定期試験だと60分でそこそこ出来て、得点分布がそれなりに成るような問題を考えないといけないが、レポートなら多少無茶がきく。今回の「代数学II」のレポートも難しい問題をノーヒントで出した。正解出来る学生はいないだろう。ということで、レポート100%にする。さ、やるぞ。
