今日も12時過ぎまで寝てしまった。昨日徹夜してるんでね。で昨日寝た時間はブログを更新した直後。まあ12時間くらい寝た、ということですわ。
2時40分から「代数学II」。今日の節のタイトルが「ガロア理論の基本定理」。ガロア群の部分群から拡大の中間体への写像をΦ、逆向きをΨと書いているが、ΦやってΨやったのとΨやってΦやったのが恒等写像であることをまず示す。有限次であることをバリバリ使うので、易しい。無限次ガロア拡大の場合がどうなるか軽く口で言って、いよいよ基本定理。書いた後沢山注意。例えば中間体 M1,M2 に対し、M1＝M2 ⇔ Gal(L/M1)＝Gal(L/M2) とか。で証明はひどく易しい。色々準備してるからね。一番難しいのがΦとΨが互いに逆写像と成ることだが、それはもう示してあるし。まあそれでも何だかんだと一時間くらい掛かったが。その後 V4 拡大の例をやる。K準同型写像 f：L → M（L,M は K の拡大体）と t∈L に対し、f(K(t))＝K(f(t)) とか、馬鹿みたいなことも示しておいた。いや、馬鹿なことではない。これをしっかり認識しておかないと。で Q(√2,√3)/Q の中間体を全て求める。位数4の群は巡回群かクライン四元群のいずれかと同型、というのはひどく易しい。群表を書けば終わりだ。それだけでは面白くないので、素数 p に対し、位数 p2 の群は Z/p2Z か Z/pZ×Z/pZ のいずれかと同型、という事実も紹介しておく。これは p 群の中心が非自明なことを使わないと（多分）示せないので、ぐっと高級。まあ p 群の中心が非自明なことはそんなに難しくなく示せるが。今日は例一つだけ。来週は S3 拡大とか C4 拡大とか円分体とか。盛りだくさんに成る予定。中間体を全部求めたから何？というのは追々わかる。多項式の可解性を待て。
生協に寄って Blu-ray のディスクを購入して、それからゼミ。ペル方程式も真面目にやると難しいね。実二次体の単数との関係をやれないところが悲しい。まあいいです。
その後部屋で講義資料の直しをして、20年位前にやった「代数学演習」の dvi ファイルを見る。文科省に新学科申請をした時に、何故か赴任前の小生の名前を書いたらしく、一度だけ担当した。チマチマと解答が付けてあって、後で見ると役立つ。上に書いた位数 p2（p は素数）の群に関する事実も証明してあった。もっとスッキリできるような気がしたが、まあいいです。やはり位数4の場合に比べると大分難しい。来週位数6の群は巡回群、3次対称群のいずれかに同型、という事実を使うが、これの易しい証明を探したが、「代数学演習」ではやってなかった。いや、Sylow の定理を使えばいいのは知ってるんだが、もっと初等的に出来るのでは？という気がするので。で探している過程でこんな問題を見付けた。「(1 2 3), (1 3 2)∈S4 は A4 において共役でない」。何かわけの分からない証明を付けてあったが、最後に「A4 の位数はほんの12だから、実際に σ(1 2 3)σ－1≠(1 3 2) を全ての σ∈A4 に対して確かめても大したことない」と書いてあった。これ20年前、本当にやったのだろうか？怪しい。ということで確かめてみる。大したことなかった。折角だからTeX化しておく。
でそんなこんなしているところで、3回生が現れた。卒研に関する相談らしい。明後日締め切りで、明日は職場に行かないつもりだったので、今日でよかった。もう少し早く帰ろうか、とも思ったのだが、帰らなくてよかった。色々話を聞いて、ちょっと整数論について説明。x2≡p (mod q) と x2≡q (mod p) に関係があるのは不思議じゃない？とか。ガウスが熱を入れて証明した、ということを言わなかったのは失策。さて、彼は来るでしょうか？後で manaba+R を見て、何人位来そうか見てみよう。
9時半くらいに職場を後にする。この時期は車が夜露でびっしょりで、発車するまでちょっと掛かる。もうちょっとするとピキピキに凍り付いているので、発車するのがもっと遅くなる。少し早目に帰ることにしよう。あと、何か凍り付いているガラスやミラーを溶かす道具を購入しておこう。すき家に寄って晩飯を済ませてくる。
11時からプロ野球ニュース。先週は内川がゲストで、球界ニュースは少しだけ、という感じだったんだが、今日はゲストがおらず、球界ニュースだけのようだ。まあ暫くFA移籍だ何だと話題が多いだろうから、ゲストを呼ぶ余裕は無いか。最近深夜のプロレスは録画しておいて後で見る、相撲も録画しておいて後で見る、と成っているのだが、今日はどちらも同じ時間に録画予約してあるようで、生で見るしかない。あ、そうだ、明日は資源ごみの日だ。夢中に成ってプロレスと相撲を忘れないようにしないと。
