起きたら2時近く。げっ！ということで急いで出掛ける。幸い間に合ったが、飯抜き。まあ仕方ない。
で2時40分から講義。今日は分離拡大について。まず既約多項式 F(X) が分離多項式であることと F'(X)＝0 であることが同値であることなどを示し、標数0なら代数拡大は全部分離拡大とか。で原始元定理を証明して、共役写像が丁度拡大次数個あることを証明。何かひどく難しく見えるように思ったので、拡大 C/R だと共役写像は恒等写像と複素共役しか無くて、下の体に属す（i.e. 実数である）ことと共役写像全てで動かないこと同値、ということを説明しておく。でガロア拡大という言葉を定義し、標数0だったり有限体の有限次拡大の場合は正規拡大と同値である、と言っておく。事実上新しい概念でない、と知れば、少しは気が楽に成るでしょう。で Aut(L) と Aut(L/K) という記号を書いて、前者が群、後者が前者の部分群であることを来週示す、と宣言して終了。
本屋に寄って、Number を置いていないかどうか確認。置いてなかった。で弁当を買って、今日初めての飯にありつく。
今日もゼミは無し。体調が悪いようだ。虚弱体質やね。まあ仕方ない。で時間があるので、講義ノートの直しと、演習問題を考える作業をたっぷり。前者はあまり直す所が無かったので、すぐ済んだ。分離性はあまりいい問題が見当たらない。分離多項式を割り切れば分離、とか問題にしようかとも思ったが、あまりに自明なのでやめておく。で今週と来週は問題を用意できそうにない。まあいいでしょう。ガロア理論の基本定理をやれば、たっぷり問題を出せるので、それまでは前の問題を解いて時間を潰してもらいましょう。って、誰も解いてる様子が無いんだが。で、ガロア理論を使った問題を沢山用意しよう、と思って、4次の2面体群をガロア群にする拡大の例を考えたんだが、難しいぞ。Q(21/4,i)/Q のガロア群が D4 であることは割と簡単に示せるが、部分群を全部書き出せるでしょうか？部分群を全部書き出しても対応する体の原始元が案外非自明。正直言って、小生は出来なかった。藤崎先生の「体と Galois 理論II」を見た。難しいな。中間体の個数を求めよ（i.e. D4 の部分群の個数を求めよ）という問題にしようか？Q(ζ25)/Q の中間体の原始元を全部求めるのは難しいか、ということで、(Z/25Z)* が位数20の巡回群であることを証明せよ、と言う問題を用意して、巡回群の部分群ならリストアップは容易、ということで、Q(ζ25)/Q の中間体の個数を求めよ、という問題にした。これなら定期試験の問題としても使えそう。難しいか。院試で代数の問題が出せれば出すんだが。で何じゃかじゃとやって、10時まで職場にいた。
明日は皆既月食だそうだ。幸い天気はよさそう。明日は保健センターに行く日で、調剤薬局が8時まで。皆既月食は8時30分過ぎまで続くそうだから、薬をもらってからでも見られそうだ。忘れず見よう。
明日は資源ごみの日だ。あっという間に2週間経ってしまう。あまり遅くまで真剣にやっていると、明日起きられなくなってしまう。程々にしよう。
