どうも月曜日は徹夜してしまうな。昨晩は群論をしていた。で秘蔵の群論問題集というのもあるのだが、それを見ると昨日書いた「20年前にやったかどうか怪しい」こともやってあった。どうも逆だな、と思ったら、20年前は σ－1xσ＝y となる σ が無いことを示していて、昨日は σ－1yσ＝x となる σ が無いことを示したので、全部逆に成っていた。まあ合っていてよかった。その後 S4 の共役類分解。(1 3 4), (1 4 3) を見落としていて、予想外に手間取る。さらに二面体群 Dn＝<σ,τ｜σn＝e,τ2＝e,τστ－1＝σ－1> の中心を決定する問題を考えた。n＝4 の時は、「代数学演習」で p 群の中心が非自明という定理を使って証明させていたが、他の n だとどうなるんだろうか？あまり考えたことない。結論は松坂「代数系入門」に書いてあったので、心を強くしてやる。σiτ（i＝0,1,…,n－1）が中心に入っていないことを示すのに案外苦労。σiτ と σi＋1τ が可換でないことを示せばいい、と気付くのに案外時間が掛かった。でちゃんと予定通りの結論が得られて、嬉しい。TeX化しておく。
その後数時間寝て、相撲の時間。御嶽海が6敗で、大関復帰が無くなった。残念。1敗の王鵬と豊昇龍は勝った。この2人に絞られたかな。どっちが勝っても初優勝。いや、2敗の高安も頑張って欲しい。年間最多勝争いは若隆景が一歩リード。豊昇龍、琴ノ若が追う。若隆景はあと3番勝てば年間最多勝決定とか。横綱、大関がからんでないのは残念。関脇以下で年間最多勝を取った力士は皆大関、横綱に成っているそうなので、若隆景の今後が楽しみ。
相撲が終わった後また群論。群の部分群 H,K に対し |HK|＝|H|×|K|/|H∩K| が成り立つ、という初等的な命題の証明に案外苦労する。H か K が正規部分群なら同型定理より明らかだが、H,K が正規でない部分群だと HK が群に成らない。hk＝h'k'（h,h'∈H, k,k'∈K）となる条件を書いてみればよいだけだった。これもTeX化しておく。で何の為にこれをやったかというと、位数 2p（p は奇素数）の非可換群が二面体群と同型であることを示すのに使う。結局位数6の非可換群が S3 と同型に成ることは、この事実に頼るしかなさそうだ。位数3の元の存在を言えばよさそうだが、これは Cauchy の定理という、Sylow の定理の系（としなくても示せるが）を使うので、実質同じことだ。勉強に成った。いや、勉強ばかりじゃなくて研究もしないといけないんだが…。
近々の予定を調べたんだが、金曜日に職場に行く前に用事があることがわかった。さらに日曜日はAO入試の面接があり、職場に行かないといけない。忙しいな。明日は祝日だが授業日だし。明日の夜10時からサッカーのドイツ戦がある、と盛り上げているが、明日は卒研希望調書の締め切りの日で、ゼミが済んだらそれの仕分けをしないといけない。多分サッカーの始まる頃は帰りの途次だろう。まあ勝てないでしょう。引き分けられるかどうかも微妙。まあ応援しない方が勝つというジンクスもあるので、見ないことにしましょう。
ワールドカップと言えば、昨日の「激レアさんを連れてきた。」は面白かった。日韓ワールドカップの時にカメルーンのキャンプ地に成った中津江村の担当の人が出ていた。20年前の暴露話を沢山していた。候補地に成れば色々施設を修繕してもらえてよかろう、くらいに思っていたのだが、カメルーンの下見の人が子供達の歓迎ぶりに心を良くしてキャンプ地に決定、という、言わば「大誤算」。その後のバタバタは実に面白かった。見損ねた人は配信サービスで見てください。面白いから。
