どうも徹夜してしまう。いけないな。昨日の晩から今日に掛けて、「p が奇素数で f(X)=Xp-1＋Xp-2＋…＋X＋1 の時、n≡1 (mod p) ⇒ f(n)≡0 (mod p)；そうでない時 f(n)≡1 (mod p)」の証明を考えていた。これの p＝5 の場合がゼミのテキストに出ていたのは前に書いた通り。X に 0 から 4 まで代入して答えを出すのでは面白くない、というわけで何故か X4＋X3＋X2＋X を mod 5 で因数分解する、という方針で示した。これが綺麗に X(X＋1)(X＋2)(X+3) と分解できる。じゃあ p=7 では？とやってみてもそうなり、じゃあもっと大きい p では？と SageMath に実験させて、どんな p でも良さそう、という感触を得た。で証明を考えたわけ。出来てしまえば簡単。フェルマーの小定理がキー。フェルマーの小定理を (n,p)＝1 ⇒ np-1≡1 (mod p) とだけ覚えていると出来ない。Xp－X∈Fp[X] が Xp－X＝X(X－1)…(X－(p－1)) と分解出来る、と理解しておかないと。案外これ知らない人いるんじゃないだろうか？X＝0,1,…,p－1 が Xp－X の根で、p 次式の根が p 個あったからそうなる、というのが理解の綣だが、ここで注意しなくてはいけない。R：可換環、f(X)∈R[X], a,b∈R, f(a)＝f(b)＝0, a≠b ⇒ (X－a)(X－b)｜f(X) が成り立つのは当たり前、と思うかもしれないが、そんなことはない。例えば R＝Z/8Z, f(X)＝X2－1 とすると、f(1)＝f(3)＝0。しかし (X－1)(X－3) は f(X) を割らない。当たり前だと思っていたのは何故かというと、素因数分解の一意性が成り立つと思っているから。R が U.F.D. とか体だったら R[X] は U.F.D. なので問題無い。で高校までは係数の環は有理整数環、有理数体、実数体、複素数体の場合しか扱わないから問題は無いのだが。前にも書いた気がするが、実は R が U.F.D. というのは仮定がきつすぎて、R が整域、くらいの条件でよい。示してください。
こういう細か過ぎることを気にしないといけないから代数は嫌いなんだ、と言いたい人もいるだろうが、解析でも相当変なことがある。でこういうのを研究するのが代数とか解析とか思うと、そんなことはないのである。数学基礎論も何やら屁理屈をこねくり回しているようだが、昔先輩に聞いたら、然るべき命題の集合に位相を入れたりすることがあるそうだ。やっぱり数学基礎論も立派な数学なんだな、とその時思った。それが分かる程勉強しなかったけど。整数論や代数幾何は素因数分解の一意性が成り立たないけど素イデアルの積で表したり準素イデアルの共通部分で表したりと、一意性を回復するために発展したのがわかる。面白いから1回やってごらん。
今日は夕方4時半から学科会議をやることにしていたので、適当に寝て、まあフラフラではなかった。車を運転するので、ある程度は寝ておかないといけない。で3時くらいに住処を出る。今日も新名神集中工事は続いていて、草津JCT－信楽が渋滞。でまた瀬田西で降りた。瀬田西で降りるといいのは月の輪自動車教習所の車を多く見ること。嬉しくなるし、運転している人を応援したくなる。何年も運転してると雑に成りがち。初心に戻れるのはいいことである。数学は雑に成ると痛い目に会う。いつまでも慎重に。
4時20分頃談話会室へ向かう。コロナの流行と共に会議室で会議をやらなくなった。会議室は狭いんでね。小生が来た頃に比べるとスタッフが増えた。教授、准教授の数は増えていないと思うが、助教とか特任助教とか、若い人を任期付きで沢山雇っている。会議室は窓が無いし、談話会室の方がいい。来ないでも Zoom で参加出来るように成ったのはいいことだ。今日は A 堀先生がいない。すると談話会室の機械の使用方法を知らない人が多い。小生も全くわからん。W先生とY富先生と小生でいじくり回してもよくわからず。微分方程式の T 先生が「これ押したらどうですか？」と仰るので押してみたらうまくいった。5分遅れくらいで会議開始。今日は色々決めないといけない、と思っていたんだが、実は一つは細かいことをまだ決めなくていいことだった。26日までに報告せよ、と成ってるのに、昨日事務の人に聞いたら「方針が決まるのは5月上旬」とか言ってて、不可思議な、と思っていたんだが、その方針を決めるための意見を集約する、というのが今日やることだった。何だ。他にも小生1人で決めるわけにはいかないような議題があったのだが、皆さんの言う通り解は unique。小生1人で決めても同じだったな。まあそれでも談話会の在り方につき意見を交換出来て、よかったかな、と。6時くらいには終わった。皆さんお疲れ様でした。会議終了後数名で密談する用事があるそうで、ホストにしてくれ、と某先生に頼まれた。やったことが無いことばかりだな。何となくそういう話をするんだろうな、と思って聞いてみたらその通り。でその件にまたあの先生が関わっている。何だか同じ人ばかりあの仕事をやってる。ご苦労様です。
その後個研室で会議の後始末。一つファイルを書き直してアップロードする作業があった。その中に「当てはまる所にチェックマークを入れてください」というのがあったのだが、これがどうやればいいのか皆目分からない。紙で提出するならボールペンでちょちょっとやるだけなのだが、Word ファイルだからな。業を煮やして W 先生に聞きに行ったら、環境依存文字だが四角にチェックマークが入った文字がある、とのこと。☑ね。いや、環境依存文字は見えない？まあそうか。見られる人だけ見てください。で事務にメールを書いて、一仕事終了。
その後野球の情報をチェックしながらコンピューターの掃除。Maple を新しくしたり Discord をインストールしたりと、巨大なファイルをダウンロードしたので、削除作業など。他にも去年の教務委員会の資料や、学生のレポートなど、「ダウンロード」のフォルダが凄いことに成っていたので。まあハードディスクの容量にはまだ相当余裕はあるが。USB メモリーも少々整理。こちらはまだ3分の1くらいしか使ってない。こんな容量の大きいのを買っても仕方ないな。まあ安いんで。始めて買った USB メモリーは32MBだった気がする。それでも3000円以上した。1GB の USB メモリーは4万くらいした。予算が余ってて仕方なく買ったんだが、今では 1TB の SSD が1万以下で買える。安くなったな。
昨日書いた通り今日の Baystars は佐賀で Giants と。三養基（みやき）高校出身の濱口が先発。見始めた時は1－2とリードされている状況。その後抑えていたんだが、7回に2ランホームラン、8回にソロホームランを打たれ、5失点。相変わらずいいイニングと悪いイニングの差が大きい濱口。故郷に錦を飾れず。光明は巌木（きうらぎ）高校出身の宮崎がヒットを打った。これで開幕からの連続安打は続いている。まあいいでしょう。「三養基」は変換できたか、「巌木」は変換できなかった。佐賀のことは詳しくないので知らないが、町の大きさが違うということだろう。
9時過ぎに職場を後にした。寝不足の時はすき家でニンニクファイヤー牛丼だ、ということで馬鹿の一つ覚え。で瀬田店に行くために南田山の交差点を左折。そこで気付いた。「めいさん」というカレー屋があったのだが、近江ちゃんぽんの店に変わっていた。「めいさん」は何度か行ったが、流行っていたとは言い難い。味は悪くなかったが。まあ仕方ない。近江ちゃんぽんの店は月曜日の昼飯にしよう。近江ちゃんぽんは長崎ちゃんぽんとは全くの別物。どちらも旨い。瀬田の「フォレオ」で一度食べた。ダイアンの二人が滋賀出身で、近江ちゃんぽんのCMに出ている。今度「フォレオ」に食べに行こう、と思っていたのだが、新しい店があるならそっちを試したい。忘れていなかったら月曜日の昼飯に是非。
滋賀出身の有名人って結構いる。TM Revolution 西川貴教は有名。野球だと “熱男” 松田（Hawks→Giants）が確か草津市出身じゃなかったかな。最近知ったのは女優の堀田真由。誰？どう説明するのがいいか。去年大河ドラマを見てた人は義時の二人目の奥さん比奈をやっていた、と言えばわかるだろうか？北条と比企の板挟みで、北条が比企を滅ぼした後義時の下を去る、という設定だった。頼朝が色目を使って夜這いに行ったらそこに義時がいて、「おお、お前の妻にどうかと思っての」とか苦しい言い訳をして嫁がせた、というのがドラマの設定だが、手近の本を見たら義時がぞっこんに成り、絶対離縁しない、と頼朝に起請文を出したと書いてあった。まあどっちでもいいけど。記録が残ってると言っても映像が残ってるわけじゃないからね。ドラマとして面白ければいいので。
さて、今日は寝よう。もう「これ余談なんですけど」が始まってるが、録画してあるし、明日見よう。先週は「タモリ倶楽部」のことをすっかり忘れていた。関西では3か月遅れ位で放送しているので、まだやってる。最後から2回目に「空耳アワー」をやるそうだから、忘れず録画しておこう。
