10.19 がまたやってきた

一日おきに不摂生をしていて、そのために起きられない。今日も目が覚めたら12時。シャワーを浴びて、ダッシュで出発。追い越し車線に出てしまった。下品だ。

1時から卒研ゼミ。Z[√－1] と Z[√－2] の素元の分類を終わらせて、y²＝x³－2 の整数解の決定。が、よくわからないと言う。それはまあそうで、環 Z[√－2] の中で整数論をやるからね。√－2 で括り出して、(√－2)^eα、α と √－2 は互いに素、とかわからないのも当然。手を差し伸べながらやる。どうやら分かってくれたようだ。その後に y²＝x³－9 と y²＝x³－8 の整数解を決定する問題が出ている。後者は 2 の場合の議論をちょっといじれば示せるだろうということで、前者をやる。6の Z[√－1] での素元分解が出てくるから難しい。が、2は分岐、3は惰性するので、難しくないと言えば難しくない。こちらも手を差し伸べ差し伸べ終了。よかった。その後 d≡3 (mod 4) の場合の K＝Q(√－d) の整数環と単数群の決定。これは難しい。ω_d＝(－1＋√－d)/2 とした時に、整数環は Z[ω_d] となるのだが、これになることを K の元を a＋b√－d （a,b∈Q) と書いて、トレース 2a とノルム a²＋db² が整数と成る条件を求める、とやると、a,b が半整数で、2a≡2b (mod 2) となる、という条件しか出てこない。それから c＋dω_d, c,d∈Z の形に成ることを示さないといけない。難しいぞ。単数群もノルム a²－ab＋b²(1＋d)/4 が1となる条件などすぐわかるんだろうか？4倍して平方完成、もしくは前のように整数環の元を書いておいて、a²＋db²＝4 の整数解の決定、とかしないといけない。難しい。まあ概略だけを書く、という方針で書かれた節だから、仕方ないかな。今まであまりに順調に進み過ぎていた。わからないところがあってもいいでしょう。ということで今日は疲れたでしょう。休憩抜きで4時までやった。来週は y²＝x³－11 の整数解の決定から。

その後部屋で y²＝x³－7 の整数解の決定の証明を書き下す。前にやったが、どこにメモしたか忘れたので、もう一度一から考えた。この場合は2が分解するので難しく、Thue方程式 x³－3x²y－3xy²＋3y³＝1 を解かないといけない。これはもう一度3次体で分解して、とかやらないといけない。2次体で分解すれば Mordell 方程式は何でも解ける、と誤解を持たれちゃいけないので、来週ちょっと話そう。昔 y²＝x³＋1728ε³（ε＝6＋√37）と y²＝x³－1728 を満たす K=Q(√37) の整数 x,y を決定したことがあったが、その時は前者は K(√3ε) では2と3の上の素元が分岐しているのでまあ易しいが、後者では K(√－3) で2が分解しているのでひどく難しかったのだ。2次体上定義された Thue 方程式の2次体での整数解を求めるという、世界に一つしか無い B.M.M.de Weger の解法をなぞった。難しかった。一応出世作に成った論文だが、今読むと色々恥ずかしい。わかっていないで書いたことが多い。もう少し地に足の着いた論文を書こう。

その後大学入試問題をちょっと解いた。コロナ禍で講義もゼミも全部住処からやっていた頃、大分時間を持て余したので、YouTube で京大の院生が大学入試を解説するページを見る習慣が付いてしまい、面白そうな問題はメモしておいた。そのうちの2問を。a²＋b²＝1224 を満たす自然数 a,b を決定する問題が面白そう。受験生的にはどう解くか知らないが、ガウスの整数環の問題と見るのが2次体屋としては自然。で1224を素因数分解して、1224＝2³×3²×17。2は分岐、3は惰性、17は分解、ということで簡単に解は決定できる。負の数も0も許して a²＋b² と表す方法が何通りあるかはデデキントゼータ関数を使えば割と簡単な公式で求められる。8通り、という答えが返ってきた。つまり、a,b の入れ替えと符号の差だけ、ということだな。で正解が得られた。が、一応受験生のやりそうな解答も考えてみた。ちょっと考えれば a,b が6で割れることがわかる。こういうのを合同式でスマートにやる受験生はいないだろうな。小生はもちろん合同式を使った。で a＝6c, b＝6d と書けば、c は6未満。あとは虱潰しで。まあ答えが分かってるからそう解答できるが、答えを知らないと不安だな。まあうちの大学では出せない問題。プロセスを書かせることは出来ないし、答えを全部書け、という風にしたとしても、一部書いてある場合は何点上げるんだ？とか、余分なものが書いてあったらどうするんだ？ということで紛糾しかねない。答えの個数を書かせるだけの問題では面白くない。だからこういう問題はうちの大学を受ける場合は対策しなくていいです。その後もう一問。a²＋b²＋c²＝292 となる自然数 a,b,c, の決定問題。これは虚二次体ではできない。ということで受験生的にやる方法を考える。いや、実は答えをメモしてあったから、それに向かって一直線に進むだけなので、難しくなかった。合同式で解の可除性を突き止めて、十分小さくしてから虱潰し。解は案外少ない。こういう問題はどうやって作るんだろうか？292とか見付けるの大変じゃないかな。コンピューターで適当に探すのかな。まあうちの大学にいる限りは作れない問題なので、考えるのはやめよう。で何だかだと9時過ぎまで職場にいた。

今日は10月19日。昭和の近鉄ファンには忘れられない一日。もう34年も経つのか。涙にくれた阿波野だったが、次の年にしっかり優勝して、しかも子供が10月19日生まれているという。一生忘れられないだろう。

Baystars の戦力外通告だが、山下幸輝も通告されたそうだ。涙のサヨナラヒットは忘れられない。ラミレスが監督やっている頃、代打の切り札に指名されたこともあったが、ここ数年は冴えなかった。今年も何度か一軍で打席に立っていたが、結果は残せなかった。勝負の世界は厳しい。別の球団の話だが、内海哲也（Lions）の二軍での最終登板は古巣 Giants 戦で、両チームの選手が胴上げしてくれていたが、その中に桜井（Giants）がいた。その数日後に自分が戦力外通告されるとは思っていなかっただろう。残酷だ。トライアウトで他球団と契約できる例は僅か。契約してもらっても1年後また、ということも多い。東野（Giants → Baystars）、風張（Swallows → Baystars）もそうだった。厳しい世界やね。我々の世界もある意味勝負の世界だが、パーマな職を得てしまえばまあ安泰、という意味ではぬるい。我々に本当に実力主義を導入されたら、小生とっくの昔に戦力外。まあぬるくてよかった。考えたいことはあるんで、余裕のある時に考えて、論文にして、ぬるま湯につかってると言われないようにしたい。