また徹夜してしまった。何をしていたかと言うと、y2＝x3－7 の解の決定を TeX にまとめた後、出てくる Thue 方程式のことを調べていた。t を f(X)＝X2－3X2－3X＋3 の根とした時、体 K＝Q(t) の整数論的性質を調べようと。f(X) は3に関する Eisenstein 多項式なので、[K：Q]＝3はすぐわかる。で判別式と整数環を調べようということで、まず f(X) の判別式を計算。756＝22×33×7。すると (OK：Z[t]) を割る可能性のある素数は2と3。が、f(X) が3に関する Eisenstein 多項式なので、3では割れない。じゃあ2はどうだ？と思ってしゃれで f(X－1) を計算したら、f(X－1)＝x3－6X－2 で、何と2に関する Eisenstein 多項式。ということで (OK：Z[t]) は2でも3でも割れない。と言うことでOK＝Z[t]。おぉ。当然 K の判別式は 756 で、Minkowski boundは6とちょっと。ということでノルムが6以下のイデアルが単項イデアルであることを示せば hK＝1 が言える。ノルム2と3の元は f(X) と f(X－1) の定数項でわかるので、ノルム2と3のイデアルは単項イデアル。ということでノルム4とノルム6のイデアルも単項イデアル。で5は惰性する（f(X) mod 5 が既約であることが容易に示せる）ので、ノルム5のイデアルは無い。ということで hK＝1 も示せた。基本単数は、…、仕方ないので SageMath と PARI/GP に求めさせた。まあ ε1,ε2 としましょう。で Thue 方程式を解くには、±ε1aε2b が X－Yt の形に成る a,b を決定すれば完了。が、これは大変。仕方ないので |a|,|b|≦2 の範囲で確認。が、何かおかしい。そのおかしさを解消するのに数時間掛かった。X－Yt とするところを X＋Yt としていたので、Y の符号がおかしかったのだ。あほくさ。でそれを TeX にまとめておく。詳細は修論のネタとして学生に提供しよう。もう明るくなっていた。
その後一旦寝ようと試みるも、眠くならない。仕方ないので Ramanujan－Nagell 方程式の解の決定の証明を読んだのだが、中断していたので、再開する。で Mordell の本を読んだんだが、よくわからない。7,72,73,… と冪を上げて、その後 (y1－y)/7l 乗すればよい、と書いてある。が、7の冪で冪乗するところで躓いた。結論が推測出来ない。わからん、ということで横に成ったら寝られた。そのまま数時間寝た。テレビは付けっ放し。気付くとプロ野球のドラフト会議の放送が始まった。今年は目玉がおらず、候補の重複は無いのでは？と言われていたが、2件あった。Tigers と Giants が高松商業の浅野翔吾を指名。籤運の悪い岡田新監督と原監督が籤引きして、Giants が交渉権を獲得。Eagles と Marines が立教大の荘司康誠選手を指名し、Eagles が交渉権を獲得。他は重複無し。我が Baystars は大阪桐蔭の松尾汐恩捕手を単独指名。主戦級の捕手である嶺井、伊藤、戸柱が30代。次代を担うと思われた山本祐大がパッとしない中、後継者を指名するのはある意味当然。まあ1年目から Marines の松川虎大のように活躍とはいかないだろう。長い目で見ましょう。その後さらに数時間寝る。
で起きて、さっきの7の冪の件を片付けるべく、PARI/GP で実験。1＋7＊x を %7 すれば１と返ってくる、と信じていたのだが、0という答えが返ってきた。多項式を整数で割った余りは0か。そりゃそうだ。でどうしよう？と思って調べると、係数を一つずつ取り出す関数がある。それで定数項と1次の項を取り出して、個別に %7。出来た。で結論は、そりゃそうか、という結論。結論が分かってしまえば数学的帰納法ですぐ証明出来る。その後 (y1－y)/7l 乗して、一箇所解決。実はもう一箇所わからないところがある。法が違う合同式をさも等式のように計算しているのだが、そうか？という気がする。もう少し考えてみよう。今日は寝不足で、明日は1時からゼミ。ということでそれなりに寝る。
寒くなってきた、と言っているが、そんな気がしない。未だに部屋の中では半袖で過ごしている。辛い物を食べて帰ってきた後などは冷房も掛けている。今朝の京都の最低気温は10度とか言ってた。少し気を付けた方がいいな。と書いているそばからちょっと腕の関節がだるい。風邪か？気を付けよう。
