またうっかり徹夜してしまった。ちょっと群論で気に成ることがあって。G が群で、H を次の条件を満たす G の部分集合とする：H≠空集合、#H<∞、∀x,∀y [x,y∈H ⇒ xy∈H]。この時 H は G の部分群であることが成り立つか？ということが。出来たっぽいのだが、何かおかしい。H は単位元を含むの？結構考え込んでしまった。でこの仮定から H が単位元を含むことを示さないといけなくて。ウダウダやって、何とかなった。TeX 化して、それで終わればよかったんだが、その過程で東工大の大矢浩徳氏という人の web ページに代数の講義ノートが置いてあり、それをダウンロードして見てみたら、変な例が出ている。群の公理に両側単位元と両側逆元の存在があるが、左単位元と左単位元が存在すれば実はいい、とか、右単位元と右単位元が存在しても実はいい、という事実がある。大矢氏の講義ノートに何かこれに反することが出ているぞ、と。でこういうマニアックな事実は彌永・有馬・浅枝「詳解代数入門」あたりを見れば出ているだろう、と思ったが、見付からない。で東郷重明「代数入門」というサイエンス社から出ている薄い本があった。これにも出ているのでは？と見たらあった。確かに右単位元と右逆元が存在すれば群に成るな。じゃあ大矢氏の例は何？と思ってちゃんと見てみたら、氏の例は右単位元と左逆元は存在するが群じゃない、という例。よかった、矛盾してない。しかし変な例を知ってるものだな、と感心。大矢氏は量子群とかそんなのの専門家のようだから、非可換な例には詳しいのだろう。でもう明るくなっていた。
でついでに東郷「代数入門」を少し読んでみた。こういう薄い本は大体読みづらく、案の定だった。巡回群の部分群が巡回群、というのは無限巡回群が Z と、位数 n の有限巡回群が Z/nZ と同型、という事実を知ってしまっているので当たり前なのだが、それを知らないとしてどう証明するか、と聞かれると即答出来ないので。で部分群 H をいきなり {e}（e は単位元）でないとしていて、さらに G＝<x> の時、xn∈H となる最小の自然数（正の整数ね）n を取って、といきなり書いてるが、そもそも xm∈H となる自然数 m はあるの？ということが気に成り、考え始める。ここで H≠{e} が効いているのだが、その旨一切書いてない。学生がこういう説明すると、当然の如く m の存在は明らかなの？と突っ込むものとしては、考えないといけない。でまあ分かった。TeX 化しておく。久し振りに群のことを考えたが、難しいな。2回生が躓くのも無理はない。群より環の方が易しい、という意見は多くて、小生もそう思ってる。Z は群と見るより環と思った方が自然だからね。演算を一つ忘れる、というのは予想している以上に高級なことなのだ。
でグダグダと11時過ぎまで起きていた。早目の昼飯を摂ってダウン。そのまま相撲が終わるまで寝てしまった。起きてメールを見ると、4時半から談話会、というリマインドメールが4時20分に届いていた。いや、そんな直前に言われても。前の日に言ってください。学科会議が無いとなると開放感から色々やってしまうので。2回続けて談話会をサボってしまったな。まあいいか。
7時のNHKのニュースで相撲の結果を確認した後、録画しておいた「たとえあなたを忘れても」を見た。日曜日にやった分を金曜日に即再放送するというよく分からないことをやっているが、初回の日曜放送をうっかり見損ない、金曜日の深夜に再放送が始まった時は眠くて仕方ないので録画して寝ようと思ったら、ダビングの真っ最中なので録画出来なかった。まあしょっちゅうダイジェストをやってるので筋は分かったし、2話は金曜日の再放送を見たので、大体分かった、ということで、3話目から真面目に見ている。まあ堀田真由と岡田結実が出てるから見てるという説もあるが。何か辛気臭く、見たくないのも本音なのだが、続きが気に成って。ということで多分最終回まで見るでしょう。大河ドラマと「相棒」と相撲があって、来週の金曜日から暫くやること目白押しに成りそうなので、時間はあるでしょうか？という気もするが。その後「ミラクル9」を追っかけ再生。家で乾電池を使ってるものは？というアンケートクイズで、誰も答えられなかった答がマウス。言われるまで小生も考えもしなかった。職場でも住処でもコードレスマウスを使っているので、すぐにでも気付くべきだった。住処のマウスは Bluetooth 接続。USB の口が少なそうなので、初めて Bluetooth 接続の物を買った。まあ普通に使えるのでいいが。USB ハブも買ったが、初めて使った時は外付けハードディスクを認識しなくなり、壊れたか、と思ったが、今回のハブは優秀で、USB メモリーも外付けハードディスクも普通に認識している。時代とテクノロジーは進歩した、ということだろう。えーと、「ミラクル9」の話。今日は関東地方がネタの中心。外国人を連れて行きたい東京の場所をアンケートした問題だが、渋谷が9位で、新宿、秋葉原は圏外と、意外だった。金太郎の舞台に成った神奈川県の山は？という問題は分からなかった。金時山だそうだ。で最後の問題は全国のJR、私鉄で無人駅の割合は？という問題。ビックリするくらい多かった。まあ京阪京津線も追分と大谷が無人駅。大谷駅で人が待ってるのを見たことない。近くに「日本一の鰻」をうたう店があるので行ったが。車を運転出来るように成ってからは車で行ってる。「日本一」という程の味ではないが、すき家や吉野家よりは旨い。値段はビックリするくらい高いけどね。
「数学展望」のレポートがもうすぐ締め切りの時間。昨日学生からメールが来て気付いたのだが、2回目のレポートの提出方法を「直接入力」方式にしてまっていた。1回目のは pdf を提出すればいいように成っていたが、「直接入力」だと学生は提出するのが面倒だったらしく、提出者は少なかった。急いで pdf でも提出出来るようにした。明日ゼミが終わったら採点しよう。大して採点に手間取る問題ではないので、短時間で済みそう。明日は夜雨に成ると言ってたから、住処に帰ってきてからやるかな。金曜日は寒いらしいが、来週はまた20度を超える日があるようだし、まだ秋物をクリーニング屋に出すのはまだ先だな。
